Zerfallende Algebra

In der Mathematik sind zerfallende Algebren ein Thema der Algebrentheorie.

Definition

Man sagt, dass eine Algebra über einem Körper ${\displaystyle K}$ zerfällt, wenn sie isomorph zu einer Matrizenalgebra über ${\displaystyle K}$ ist.

Lehrsätze

• Nach dem Satz von Wedderburn zerfällt jede einfache Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
• Einfache Algebren über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sind nach Cartan Matrizenalgebra über ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {H} }$.
• Nach dem Satz von Brauer-Hasse-Noether zerfällt eine zentrale einfache Algebra über einem Zahlkörper genau dann, wenn ihre ${\displaystyle p}$-adischen und reellen Vervollständigungen zerfallen.

Literatur

• Nathan Jacobson: Finite-dimensional division algebras over fields. Springer-Verlag, Berlin, 1996.