Zerfallsgesetz

Zerfallsgesetz ist die in der Physik übliche Bezeichnung der Gleichung, die eine exponentielle zeitliche Abnahme von Größen beschreibt. In der Kernphysik gibt das Zerfallsgesetz die Anzahl ${\displaystyle N}$ der zu einem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ noch nicht zerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanzprobe mit einem einzigen Radionuklid an. Diese Anzahl beträgt

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t}}$,

Exponentielle Abnahme einer Größe vom anfängliches Wert N – z. B. der Zahl radioaktiver Atomkerne in einer gegebenen Substanzprobe – mit der Zeit t.

wobei ${\displaystyle N_{0}}$ die Anzahl der am Anfang (${\displaystyle t=0}$) vorhandenen Atomkerne und ${\displaystyle \lambda }$ die Zerfallskonstante des betreffenden Radionuklids ist.

Herleitung

Betrachtet man ein radioaktives Präparat mit anfänglich ${\displaystyle N_{0}}$ Atomkernen und der Aktivität ${\displaystyle A}$, so gilt für die Anzahl ${\displaystyle N}$ der in der Zeit ${\displaystyle t}$ noch nicht zerfallenen Kerne:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=-{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\qquad {\text{mit }}A=\lambda \cdot N\\-\lambda \cdot N&={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\\-\lambda \cdot \mathrm {d} t&={\frac {1}{N}}\cdot \mathrm {d} N\\\int _{0}^{t}-\lambda \cdot \mathrm {d} t'&=\int _{N_{0}}^{N}{\frac {1}{N'}}\cdot \mathrm {d} N'\\-\lambda t-(-\lambda \cdot 0)&=\ln(N)-\ln(N_{0})\\-\lambda t&=\ln \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\\\mathrm {e} ^{-\lambda t}&={\frac {N}{N_{0}}}\\N(t)&=N_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-\lambda t}\end{aligned}}}$

Nach der Zeit ${\displaystyle t}$ sind also von ${\displaystyle N_{0}}$ Ausgangskernen noch ${\displaystyle N(t)}$ übrig.

Mittlere Lebensdauer

Die Zerfallskonstante ${\displaystyle \lambda }$ (Lambda) ist der Kehrwert der mittleren Lebensdauer ${\displaystyle \tau =1/\lambda }$, also der Zeit, nach der die Zahl der Atome sich um den Faktor ${\displaystyle \mathrm {e} =2{,}71828\dotso }$ verringert hat. ${\displaystyle \tau }$ (Tau) unterscheidet sich von der Halbwertszeit ${\displaystyle T_{1/2}}$ nur um den konstanten Faktor ${\displaystyle \ln 2}$:

${\displaystyle T_{1/2}=\tau \cdot \ln 2={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx 0{,}693\cdot \tau }$

Damit ergibt sich für das Zerfallsgesetz auch folgende Form:

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot e^{-{\frac {\ln(2)}{T_{1/2}}}t}}$

Mit

${\displaystyle e^{-\ln(2)}={\frac {1}{2}}}$

ergibt sich eine Form des Zerfallsgesetzes, die die Halbierung der Stoffmenge nach Ablauf je einer Halbwertszeit besonders anschaulich macht:

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{T_{1/2}}}}$

Weblinks

• Java-Animation des Zerfallsgesetzes