Ολοκλήρωμα
From Wikipedia, the free encyclopedia
Η ολοκλήρωση είναι στοιχειώδης έννοια των προχωρημένων μαθηματικών, ειδικά στα πεδία του απειροστικού λογισμού και της μαθηματικής ανάλυσης. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f με ανεξάρτητη μεταβλητή την x. Έστω υποσύνολο D του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Έστω (μεταβλητή) διαμέριση P, n στοιχείων, του συνόλου D, με λεπτότητα ∥P∥. Με απλά λόγια διαμέριση λέγεται οποιοσδήποτε τρόπος κομματιάζει το D σε n κομμάτια, ενώ η λεπτότητα δείχνει πόσο μεγάλο είναι το μεγαλύτερο κομμάτι της διαμέρισης. Ένα κομμάτι της διαμέρισης συμβολίζεται με δx. Σε κάθε στοιχείο δxi της διαμέρισης (δηλαδή σε κάθε κομμάτι) επιλέγεται ένα σημείο xi και υπολογίζεται η f(xi). Έστω το άθροισμα:
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Τότε ως ορισμένο ολοκλήρωμα της f στο D ορίζεται το όριο (αν υπάρχει):
Το ορισμένο ολοκλήρωμα συμβολίζεται με , δηλαδή ισχύει:
Σημειώνεται ότι ισχύει:
Στην περίπτωση που το D είναι διάστημα με άκρα τα a,b (b μεγαλύτερο ή ίσο του a) το ολοκλήρωμα συμβολίζεται με:
Ο όρος "ολοκλήρωμα" μπορεί επίσης να αναφέρεται στην έννοια της αντιπαραγώγου ή παράγουσας συνάρτησης, η οποία είναι μια συνάρτηση F της οποίας η παράγωγος είναι η αρχική f. Σ' αυτή την περίπτωση λέγεται και αόριστο ολοκλήρωμα, ενώ τα ολοκληρώματα που αναφέρονται σε αυτό το άρθρο λέγονται ορισμένα ολοκληρώματα. Τα αόριστα ολοκληρώματα δεν αναφέρονται σε κάποιο συγκεκριμένο υποσύνολο του πεδίου ορισμού, άρα δεν προσδιορίζουμε που ολοκληρώνουμε, ενώ κατά τα άλλα ο συμβολισμός παραμένει ο ίδιος. Ο λόγος για αυτό είναι οι σχέσεις:
όπου c οποιαδήποτε πραγματική σταθερά
Με άλλα λόγια το ολοκλήρωμα της παραγώγου ισούται (με μία διαφορά) με την αρχική συνάρτηση. Άρα για να βρούμε την αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης, αρκεί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμά της.
Μερικοί συγγραφείς θεωρούν διαφορετική την έννοια της αντιπαραγώγου από το αόριστο ολοκλήρωμα. Η διαφορά είναι ότι αντιπαράγωγος είναι κάθε συνάρτηση της οποίας η παράγωγος δίνει την f, ενώ το αόριστο ολοκλήρωμα της f είναι μια οικογένεια συναρτήσεων που διαφέρουν μεταξύ τους κατά μια σταθερά, κάθε μια από τις οποίες είναι αντιπαράγωγος της f.[1]