Εξωτερική άλγεβρα

Στα μαθηματικά, το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ή σφήνα είναι μια αλγεβρική κατασκευή που χρησιμοποιείται στη γεωμετρία για τη μελέτη περιοχών, όγκων και μεγαλύτερης διάστασης διανυσμάτων. Το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων u και v, που συμβολίζεται με u ∧ v, ονομάζεται 2-διάνυσμα και υπάρχει σε ένα χώρο που ονομάζεται εξωτερικό τετράγωνο, ένα διανυσματικό χώρο, που διαφέρει από τον αρχικό χώρο των διανυσμάτων. Το μέγεθος^[1] του u ∧ v μπορεί να ερμηνευθεί ως το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές u και v, το οποίο σε τρεις διαστάσεις μπορεί επίσης να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το γινόμενο των δύο διανυσμάτων. Όπως το γινόμενο διανυσμάτων,έτσι και το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό, δηλαδή ισχύει: u ∧ v = −(v ∧ u)  για οποιαδήποτε διανύσματα u και v. Μπορούμε να απεικονίσουμε ένα 2-διάνυσμα ως μια οικογένεια παραλληλογράμμων που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και έχουν ίδιο εμβαδόν και ίδιο προσανατολισμό— είτε δεξιόστροφο είτε αριστερόστροφο.

Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, όπως το ορίσαμε, ονομάζεται 2- διάνυσμα. Γενικότερα, το εξωτερικό γινόμενο n διανυσμάτων μπορεί να οριστεί και μερικές φορές ονομάζεται n- διάνυσμα. Υπάρχει σε ένα χώρο που είναι γνωστός ως η νιοστή (n-οστή) εξωτερική δύναμη. Το μέγεθος του n- διανύσματος είναι ο όγκος του n-διαστάσεων παραλληλεπιπέδου του οποίου τα άκρα είναι δεδομένα διανύσματα, όπως το μέγεθος του βαθμωτού τριπλού γινομένου των διανυσμάτων σε τρεις διαστάσεις δίνει τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που δημιουργείται από αυτά τα 3 διανύσματα.

Η εξωτερική άλγεβρα, ή Grassmann άλγεβρα από τον Hermann Grassmann,^[2] είναι το αλγεβρικό σύστημα από το οποίο προκύπτει και το εξωτερικό γινόμενο. Η εξωτερική άλγεβρα παρέχει μια αλγεβρική ρύθμιση με την οποία απαντώνται ερωτήματα που αφορούν την γεωμετρία. Για παράδειγμα, τα διανύσματα έχουν μια συγκεκριμένη γεωμετρική ερμηνεία, και τα αντικείμενα στην εξωτερική άλγεβρα, μπορoύν να ερμηνευθούν σύμφωνα με ένα σύνολο σαφών κανόνων. Η εξωτερική άλγεβρα περιέχει αντικείμενα που δεν είναι μόνο διανύσματα βαθμίδας k, αλλά και το σύνολο των διανυσμάτων αυτών, που ονομάζεται k-πολυδιάνυσμα .^[3] Αυτά τα k-διανύσματα, επειδή είναι απλά γινόμενα διανυσμάτων, ονομάζονται απλά στοιχεία της άλγεβρας. Βαθμίδα k-πολυδιανύσματος ορίζεται να είναι ο μικρότερος αριθμός απλών στοιχείων από τα οποία αυτό προκύπτει. Το εξωτερικό γινόμενο εκτείνεται σε όλη την εξωτερική άλγεβρα, έτσι ώστε να έχει νόημα να πολλαπλασιάσουμε δύο στοιχεία της άλγεβρας. Εξοπλισμένη λοιπόν με αυτό το γινόμενο, η εξωτερική άλγεβρα είναι μια προσεταιριστική άλγεβρα, πράγμα που σημαίνει ότι α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ για οποιαδήποτε στοιχεία α, β, γ. Το k-πολυδιάνυσμα έχει βαθμό k, που σημαίνει ότι προκύπτει από το εξωτερικό γινόμενο k διανυσμάτων. Όταν στοιχεία των διαφορετικών βαθμών πολλαπλασιάζονται, οι βαθμοί προστίθενται, όπως και στον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων. Αυτό σημαίνει ότι η εξωτερική άλγεβρα είναι μια αναβαθμισμένη άλγεβρα.

Ο ορισμός της εξωτερικής άλγεβρας έχει νόημα για χώρους όχι μόνο των γεωμετρικών διανυσμάτων, αλλά και άλλων τέτοιων εννοιων, όπως τους διανυσματικούς χώρους ή τις διανυσματικές συναρτήσεις. Πολύ γενικά, η εξωτερική άλγεβρα μπορεί να οριστεί για χώρους πάνω από έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο και για άλλες δομές που παρουσιάζουν ενδιαφέρον στην αφηρημένη άλγεβρα. Η εξωτερική άλγεβρα είναι μία γενική κατασκευή, που βρίσκει μία από τις πιο σημαντικές της εφαρμογές στις διαφορικές μορφές, οι οποίες είναι θεμελιώδους σημασίας σε χώρους όπου χρησιμοποιείται η διαφορική γεωμετρία. Διαφορικές μορφές είναι τα μαθηματικά αντικείμενα που αντιπροσωπεύουν απειροελάχιστες περιοχές απειροελάχιστων παραλληλόγραμμων (και υψηλότερων διαστάσεων σωμάτων), και έτσι μπορούν να ενσωματωθούν πάνω σε επιφάνειες και πολλαπλότητες υψηλότερων διαστάσεων , με τρόπο που γενικεύονται τα επικαμπύλια ολοκληρώματα στα μαθηματικά. Η εξωτερική άλγεβρα έχει επίσης πολλές αλγεβρικές ιδιότητες που την καθιστούν ένα βολικό εργαλείο στην ίδια την άλγεβρα. Ο συσχετισμός της εξωτερικής άλγεβρας με έναν διανυσματικό χώρο γίνεται με έναν συναρτητή στον διανυσματικό χώρο, που σημαίνει ότι είναι συμβατοί με ένα συγκεκριμένο τρόπο, δηλαδή με γραμμικούς μετασχηματισμούς διανυσματικών χώρων. H εξωτερική άλγεβρα είναι ένα παράδειγμα διάλγεβρας, με την έννοια ότι ο δισδιάστατος χώρος επίσης διαθέτει ένα γινόμενο, και αυτό είναι συμβατό με το εξωτερικό γινόμενο. Αυτή η διάλγεβρα είναι ακριβώς η άλγεβρα των εναλλασσόμενων πολυγραμμικών μορφών, και η αντιστοίχιση μεταξύ της εξωτερικής άλγεβρας και της διάλγεβρας δίνεται από το εσωτερικό γινόμενο.

Παραδείγματα

Εμβαδόν στο επίπεδο

Το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου, μεσω της ορίζουσας του πίνακα συντεταγμένων δύο κορυφών του.

Το καρτεσιανό επίπεδο R^2 είναι ένας διανυσματικός χώρος εξοπλισμένος με μια βάση που αποτελείται από ένα ζεύγος μοναδιαίων διανυσμάτων

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad {\mathbf {e} }_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Ας υποθέσουμε ότι

${\displaystyle {\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2},\quad {\mathbf {w} }={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2}}$

είναι ένα ζευγάρι δοσμένων  διανυσμάτων στο R², γραμμένο σε "συστατικά". Υπάρχει ένα μοναδικό παραλληλόγραμμο με πλευρές v και w. Το εμβαδόν (area) αυτού του παραλληλογράμμου δίνεται από τον τυποποιημένο, προσδιοριστικό τύπο:

${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det {\begin{bmatrix}{\mathbf {v} }&{\mathbf {w} }\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.}$

Σκεφτείτε τώρα το εξωτερικό γινόμενο των v και w:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {v} }\wedge {\mathbf {w} }&=(a{\mathbf {e} }_{1}+b{\mathbf {e} }_{2})\wedge (c{\mathbf {e} }_{1}+d{\mathbf {e} }_{2})\\&=ac{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+ad{\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}+bc{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{1}+bd{\mathbf {e} }_{2}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\\&=(ad-bc){\mathbf {e} }_{1}\wedge {\mathbf {e} }_{2}\end{aligned}}}$

όπου στο πρώτο βήμα χρησιμοποιεί τον κανόνα για το εξωτερικό γινόμενο, και στο τελευταίο χρησιμοποιεί το γεγονός ότι το εξωτερικό γινόμενο είναι εναλλασσόμενο, και ιδίως e₂ ∧ e₁ = −(e₁ ∧ e₂). Σημειώστε ότι ο συντελεστής σε αυτή την τελευταία έκφραση είναι ακριβώς η ορίζουσα του πίνακα [v, w]. Το γεγονός ότι αυτή μπορεί να είναι θετική ή αρνητική σημαίνει διαισθητικά ότι v και w μπορεί να προσανατολιστούν σε μια αριστερόστροφη ή δεξιόστροφη λογική ως κορυφές του παραλληλόγραμμου που αυτά ορίζουν . Μια τέτοια περιοχή ονομάζεται το προσημασμένο εμβαδόν του παραλληλόγραμμου: η απόλυτη τιμή του εμβαδού είναι το συνήθης εμβαδόν, και το πρόσημο καθορίζει τον προσανατολισμό του.

Το γεγονός ότι ο συντελεστής αυτός είναι το προσημασμένο εμβαδόν δεν είναι τυχαίο. Στην πραγματικότητα, είναι σχετικά εύκολο να δούμε ότι το εξωτερικό γινόμενο θα πρέπει να σχετίζεται με το προσημασμένο εμβαδόν, αν κάποιος προσπαθεί να θεωρήσει αυτήν την περιοχή ως μια αλγεβρική δομή. Συγκεκριμένα, αν Α A(v, w) υποδηλώνει το προσημασμένο εμβαδόν  του παραλληλογράμμου που καθορίζεται από το ζεύγος των διανυσμάτων v και w, τότε θα πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. A(j,v, kw) = jk(v, w) για κάθε πραγματικούς αριθμούς j και k, καθώς αυξάνοντας κάποια από τις πλευρές, μεγαλώνει και η περιοχή κατά το ίδιο ποσό (και αντιστρέφοντας την κατεύθυνση της μιας πλευράς, αντιστρέφεται και ο προσανατολισμός του παραλληλόγραμμου).
2. Α(v, v)=0, αφού η περιοχή του εκφυλισμένου  παραλληλόγραμμου που καθορίζεται από το v (δηλαδή, ένα τμήμα της γραμμής) είναι μηδέν.
3. Α(w, v) = -A(v, w), καθώς όταν εναλλάσσονται οι ρόλοι των v και w αντιστρέφεται ο προσανατολισμός του παραλληλόγραμμου.
4. A(v + jw, w) = A(v, w), για πραγματικά j, καθώς όταν προσθέτουμε ένα πολλαπλάσιο του w στο v δεν επηρεάζεται ούτε τη βάση, ούτε το ύψος του παραλληλογράμμου και κατά συνέπεια διατηρείται η περιοχή.
5. A(e1, e2) = 1,καθώς η περιοχή του μοναδιαίου τετραγώνουείναι ένα.

Με εξαίρεση την τελευταία ιδιότητα, το εξωτερικό γινόμενο πληροί τις ίδιες τυπικές ιδιότητες, όπως το εμβαδόν. Κατά μια έννοια, το εξωτερικό γινόμενο γενικεύει την τελική ιδιότητα, επιτρέποντας το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου,να συγκριθεί με οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο επιλέξουμε (εδώ, το ένα με πλευρές e₁ και e₂). Με άλλα λόγια, το εξωτερικό γινόμενο σε δύο διαστάσεις παρέχει μια ανεξάρτητη βάση διαμόρφωσης του εμβαδού.^[4]

Υποσημειώσεις

1. Strictly speaking, the magnitude depends on some additional structure, namely that the vectors be in a Euclidean space.
2. Grassmann (1844) introduced these as extended algebras (cf.
3. The term k-vector is not equivalent to and should not be confused with similar terms such as 4-vector, which in a different context could mean a 4-dimensional vector.
4. This axiomatization of areas is due to Leopold Kronecker and Karl Weierstrass; see Bourbaki (1989, Historical Note).