From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, η επιφάνεια Πεάνο είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με δύο μεταβλητές.
Προτάθηκε από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1899 ως αντιπαράδειγμα σε ένα εικαζόμενο κριτήριο για την ύπαρξη μεγίστων και ελαχίστων συναρτήσεων δύο μεταβλητών[1][2].
Η επιφάνεια ονομάστηκε επιφάνεια Πεάνο (γερμανικά: Peanosche Fläche) από τον Γκέοργκ Σέφερς το 1920 στο βιβλίο του Lehrbuch der darstellenden Geometrie του 1920 (Εγχειρίδιο περιγραφικής γεωμετρίας του 1920)[1][3]. Αποκαλείται επίσης σέλλα του Πεάνο[4][5].
Η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι η επιφάνεια παίρνει θετικές τιμές μεταξύ των δύο παραβολών και , και αρνητικές τιμές αλλού (βλέπε διάγραμμα). Στην αρχή, το τρισδιάστατο σημείο της επιφάνειας που αντιστοιχεί στο σημείο τομής των δύο παραβολών, η επιφάνεια έχει ένα σημείο σέλλας. [6] Η ίδια η επιφάνεια έχει θετική καμπυλότητα Γκάους σε ορισμένα σημεία και αρνητική καμπυλότητα σε άλλα, τα οποία χωρίζονται από μια άλλη παραβολή,[4][5] που σημαίνει ότι ο Γκαουσιανός της χάρτης έχει μια κορυφή Γουίτνεϊ.[5]
Αν και η επιφάνεια δεν έχει τοπικό μέγιστο στην αρχή, η τομή της με οποιοδήποτε κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από την αρχή (ένα επίπεδο με εξίσωση ή ) είναι μια καμπύλη που έχει τοπικό μέγιστο στην αρχή,[1] μια ιδιότητα που περιγράφεται από τον Ερλ Ρέιμοντ Χέντρικ (Earle Raymond Hedrick) ως "παράδοξη".[7] Με άλλα λόγια, αν ένα σημείο ξεκινά από την αρχή του επιπέδου και απομακρύνεται από την αρχή κατά μήκος οποιασδήποτε ευθείας γραμμής, η τιμή του θα μειωθεί στην αρχή της κίνησης. Παρ' όλα αυτά, το δεν είναι τοπικό μέγιστο της συνάρτησης, διότι η κίνηση κατά μήκος μιας παραβολής όπως η (στο διάγραμμα: κόκκινο) θα προκαλέσει αύξηση της τιμής της συνάρτησης.
Το 1886 ο Ζοζέφ Άλφρεντ Σερρέ[8] δημοσίευσε ένα εγχειρίδιο[9] με προτεινόμενα κριτήρια για τα ακραία σημεία μιας επιφάνειας που δίνονται από τη σχέση
Εδώ, θεωρείται ότι οι γραμμικοί όροι εξαφανίζονται και η σειρά Τέιλορ του έχει τη μορφή όπου είναι μια τετραγωνική μορφή όπως , είναι μια κυβική μορφή με κυβικούς όρους στα και , και είναι μια τεταρτοβάθμια μορφή με ένα ομογενές τεταρτοβάθμιο πολυώνυμο στο και . Ο Σερρέ προτείνει ότι αν το έχει σταθερό πρόσημο για όλα τα σημεία όπου τότε υπάρχει ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο της επιφάνειας στο .
Στις σημειώσεις του 1884 στο ιταλικό εγχειρίδιο του Άντζελο Τζενοτσί[10] για τον λογισμό, Υπολογισμός διαφορών και αρχές του ολοκληρωτικού υπολογισμού, ο Πεάνο είχε ήδη παράσχει διάφορες σωστές συνθήκες για να φτάσει μια συνάρτηση σε τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο[1][11]. Στη γερμανική μετάφραση του ίδιου εγχειριδίου το 1899, έδωσε αυτή την επιφάνεια ως αντιπαράδειγμα στη συνθήκη του . Στο σημείο πληρούνται οι συνθήκες του Σερρέ, αλλά το σημείο αυτό είναι σημείο σέλας και όχι τοπικό μέγιστο[1][2]. Μια συναφής συνθήκη με αυτή του Σερρέ επικρίθηκε επίσης από τον Λούντβιχ Σέφερ, ο οποίος χρησιμοποίησε την επιφάνεια του Πεάνο ως αντιπαράδειγμα σε μια δημοσίευση του 1890, η οποία πιστώνεται στον Πεάνο[6][12].
Μοντέλα της επιφάνειας του Πεάνο περιλαμβάνονται στη Συλλογή Μαθηματικών Προτύπων και Οργάνων του Πανεπιστημίου του Γκέτινγκεν[13] και στη συλλογή μαθηματικών μοντέλων του TU Δρέσδης (σε δύο διαφορετικά πρότυπα)[14]. Το μοντέλο του Γκέτινγκεν ήταν το πρώτο νέο πρότυπο που προστέθηκε στη συλλογή μετά τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο και ένα από τα τελευταία που προστέθηκαν στη συλλογή συνολικά[6].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.