Πεδιακή θεωρία
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, η πεδιακή θεωρία είναι ένας σημαντικός κλάδος της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, ο οποίος έχει ως στόχο να ταξινομήσει τις αβελιανές επεκτάσεις, δηλαδή τις γαλαζιακές επεκτάσεις και τις αντιμεταθετικές ομάδες Γκαλουά, ενός συγκεκριμένου αντιμεταθετικού πεδίου. Πιο συγκεκριμένα, ο στόχος είναι να περιγραφούν και να κατασκευαστούν αυτές οι επεκτάσεις με βάση τις αριθμητικές ιδιότητες του ίδιου του βασικού πεδίου[1].
Τα περισσότερα από τα κύρια αποτελέσματα αποδείχθηκαν κατά την περίοδο μεταξύ 1900 και 1950. Η θεωρία πήρε το όνομά της από πρώιμες ιδέες, εικασίες και αποτελέσματα, όπως το πεδίο κλάσης Χίλμπερτ, και οργανώθηκε γύρω στο 1930.
Σήμερα, ο όρος χρησιμοποιείται γενικά ως συνώνυμο για τη μελέτη όλων των αβελιανών επεκτάσεων των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων (και γενικότερα των παγκόσμιων πεδίων), αλλά και των p-adic[2] αριθμητικών πεδίων (και γενικότερα των τοπικών πεδίων).[3]
Μια άλλη σημαντική γραμμή είναι η αναζήτηση ρητών γεννητριών για πεδία κλάσεων των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων, δηλαδή γεννητριών που δίνονται από τις τιμές των υπερβατικών συναρτήσεων. Αυτό είναι το Kronecker Jugendtraum[4] (το όνειρο της νεότητας του Κρόνεκερ). Έχει επιτευχθεί μόνο σε λίγες σπάνιες περιπτώσεις, κυρίως στο πεδίο των λογικών (θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ, όπου οι γεννήτριες είναι ρίζες της μονάδας, δηλαδή τιμές της εκθετικής συνάρτησης), και σε φανταστικά τετραγωνικά πεδία (η περίπτωση των πεδίων με μιγαδικό πολλαπλασιασμό, όπου οι γεννήτριες είναι τιμές ελλειπτικών συναρτήσεων).