From Wikipedia, the free encyclopedia
Πολύγωνο στη γεωμετρία είναι κάθε απλή κλειστή τεθλασμένη. Ένα πολύγωνο με ν πλευρές λέγεται ειδικότερα ν-γωνο ή ν-πλευρο. Προφανώς ισχύει ν ≥ 3.
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και τα εσωτερικά του σημεία λέγεται πολυγωνικό χωρίο. Ένα πολύγωνο θα λέγεται κυρτό αν το πολυγωνικό χωρίο του είναι κυρτό σύνολο και μη κυρτό ή κοίλο στην αντίθετη περίπτωση.
Εσωτερική γωνία ενός πολυγώνου λέμε κάθε κυρτή γωνία που ορίζεται από δύο διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου. Εξωτερική γωνία θα λέμε κάθε εφεξής και παραπληρωματική μίας εσωτερικής του γωνίας.
Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές πολυγώνου ονομάζεται διαγώνιος του πολυγώνου.
Απόδειξη: Για να μετρήσουμε τις διαγωνίους του ν-γώνου θεωρούμε μία-μία τις κορυφές του και μετράμε τα νέα ευθύγραμμα τμήματα που προκύπτουν για κάθε κορυφή. Από το τελικό άθροισμα όλων των ευθυγράμμων τμημάτων θα αφαιρέσουμε τα ν σε πλήθος τμήματα που είναι οι πλευρές του πολυγώνου.
Στην πρώτη κορυφή δεν έχουμε κανένα ευθύγραμμο τμήμα. Στη δεύτερη κορυφή έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τη δεύτερη με την πρώτη κορυφή. Η τρίτη κορυφή ενώνεται με τις προηγούμενες δύο και προκύπτουν δύο νέα ευθύγραμμα τμήματα. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, στην προσθήκη της τελευταίας κορυφής, της ν-οστής, θα προκύψουν ν - 1 νέα ευθύγραμμα τμήματα καθώς αυτή θα ενωθεί με όλες τις ν - 1 κορυφές που προηγήθηκαν.
Η διαδικασία αυτή σκιαγραφείται στον παρακάτω πίνακα:
Κορυφές | 1 | 2 | 3 | ... | ν - 1 | ν |
---|---|---|---|---|---|---|
Νέα ευθύγραμμα τμήματα | 0 | 1 | 2 | ... | ν - 2 | ν - 1 |
Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι το συνολικό πλήθος S των ευθυγράμμων τμημάτων. Γράφουμε με δύο τρόπους το άθροισμα της κάτω γραμμής του πίνακα:
και προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε
Αφαιρώντας τις ν πλευρές έχουμε τελικά
Απόδειξη: Θεωρούμε πολύγωνο ν γωνιών. Από μία κορυφή του φέρνουμε όλες τις διαγωνίους προς τις άλλες κορυφές. Με αυτόν τον τρόπο σχηματίζονται ν-2 τρίγωνα με συνολικό άθροισμα γωνιών προφανώς ίσο με το άθροισμα των γωνιών του ν-γώνου, ίσο με (ν-2)180°.
Απόδειξη: Έστω ότι έχουμε ένα ν-γωνο με κορυφές 1, 2, …, ν-1, ν. Αν για κάθε κορυφή πάρουμε το άθροισμα της εσωτερικής και εξωτερικής της γωνίας:
και αθροίσουμε κατά μέλη, έχουμε:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.