Ακέραιος αριθμός

Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο:

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,...\}}$

Συμβολίζεται με το γράμμα ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.^[1][2]

Το σύνολο ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ορίζεται επίσης ως εξής: ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{x-y:x,y\in \mathbb {N} \}}$

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (άλεφ-μηδέν).

Συμβολισμοί

Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, έντονα τυπωμένο, όπως και όλα τα σημαντικά σύνολα των μαθηματικών. Συναντώνται όμως διαφοροποιήσεις ανάλογα με τη χρήση και τον συγγραφέα, προσθέτοντας στον συμβολισμό επιπλέον εκθέτες ή δείκτες. Συνήθως οι αρνητικοί ακέραιοι συμβολίζονται με ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$, οι μη αρνητικοί με ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$και οι θετικοί με ${\displaystyle \mathbb {Z^{+}} }$.^[3] Ο δακτύλιος των ακεραίων μερικές φορές συμβολίζεται με το έντονο ${\displaystyle \mathbb {I} }$, εκτός από το σύνηθες ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.^[4]

Αλγεβρικές Ιδιότητες

Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα ως προς πρόσθεση και πολλαπλασιασμό και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδή απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

Πρόσθεση	Πολλαπλασιασμός
${\displaystyle a+b\in \mathbb {Z} }$	${\displaystyle a\times b\in \mathbb {Z} }$	σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις
${\displaystyle a+b=b+a\,}$	${\displaystyle a\times b=b\times a}$	αντιμεταθετική ιδιότητα
${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c\,}$	${\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}$	προσεταιριστική ιδιότητα
${\displaystyle a+0=a\,}$	${\displaystyle a\times 1=a}$	ουδέτερο στοιχείο
${\displaystyle a+(-a)=0\,}$	δεν υπάρχει	αντίθετο στοιχείο
${\displaystyle a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)}$		επιμεριστική ιδιότητα

Διάταξη

Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:

${\displaystyle ...<-2<-1<0<1<2<...}$

Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.

Κατασκευή

Οι διακεκομμένες μπλε γραμμές συνδέουν τα ισοδύναμα ζεύγη.

Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς.

Θεωρούμε το σύνολο ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=c+b.}$

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \,/\!\sim }$ ορίζει τους ακέραιους αριθμούς ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους ${\displaystyle (a,b)}$ τη συμβολίζουμε με ${\displaystyle [(a,b)]}$ ή ${\displaystyle a-b}$. Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .

Ένας ακέραιος αριθμός ${\displaystyle (a,b)}$ είναι θετικός, όταν ${\displaystyle a>b}$, αρνητικός όταν ${\displaystyle a<b}$ και 0 όταν ${\displaystyle a=b}$. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλέγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)].\,}$

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].\,}$

Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζεύγους:

${\displaystyle -[(a,b)]=[(b,a)].\,}$

Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:

${\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow a+d<b+c.\,}$

Πληθάριθμος

Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$, συνάρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2|x|,&x<0\\2x+1,&x\geq 0.\end{cases}}}$

Δείτε επίσης

Commons logo

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Ακέραιος αριθμός

Σύνολο των

• φυσικών αριθμών ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ρητών αριθμών ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• πραγματικών αριθμών ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• μιγαδικών αριθμών ${\displaystyle \mathbb {C} }$.