Ακτίνα (γεωμετρία)

Στην γεωμετρία, ακτίνα ενός κύκλου είναι οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα συνδέει το κέντρο του με ένα σημείο της περιέφερειάς του. Όλες οι ακτίνες ενός κύκλου έχουν το ίδιο μήκος. Σε πιο σύγχρονη χρήση, η ακτίνα αναφέρεται επίσης σε αυτό το μήκος.^[1] Το μήκος της ακτίνας τυπικά συμβολίζεται με ${\displaystyle R}$ ή ${\displaystyle r}$ ή ${\displaystyle \rho }$.

Στον κύκλο με κέντρο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ η ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ είναι διάμετρος και τα ${\displaystyle {\rm {OA,OB,O\Gamma }}}$ είναι ακτίνες.

Η διάμετρος ${\displaystyle d}$ ορίζεται ως διπλάσια της ακτίνας^[2]

${\displaystyle d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.}$

Εάν ένα γεωμετρικό σχήμα δεν έχει κάποιο κέντρο, ο όρος μπορεί να αναφέρεται στην ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του ή την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η ακτίνα μπορεί να είναι μεγαλύτερη από το μισό της διαμέτρου, η οποία συνήθως ορίζεται ως η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων του σχήματος. Η ακτίνα ενός γεωμετρικού σχήματος είναι συνήθως η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου ή σφαίρας που περιέχεται σε αυτό. Η εσωτερική ακτίνα ενός δακτυλίου, ενός σωλήνα ή άλλου κοίλου αντικειμένου είναι η ακτίνα της κοιλότητάς του.

Ιδιότητες

• Όλες οι ακτίνες ενός κύκλου είναι ίσες.^[1]: 19

Τύπος

Για πολλά γεωμετρικά σχήματα, η ακτίνα έχει μια καλά καθορισμένη σχέση με άλλα μέτρα του σχήματος.

Κύκλοι

Η ακτίνα του κύκλου με περίμετρο (περιφέρεια) ${\displaystyle C}$ είναι:

${\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}}$.

Η ακτίνα ενός κύκλου με εμβαδόν ${\displaystyle {\rm {E}}}$ είναι:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {\rm {E}}{\pi }}}}$.

Τρίγωνο

Η ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα τρία μη συνευθειακά ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}}$, ${\displaystyle {\rm {P}}_{2}}$ και ${\displaystyle {\rm {P}}_{3}}$ δίνεται από το:

${\displaystyle r={\frac {|{\vec {\rm {OP_{1}}}}-{\vec {\rm {OP_{3}}}}|}{2\sin {\widehat {\rm {P_{1}P_{2}P_{3}}}}}}}$.

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιεί τον νόμο των ημιτόνων. Εάν τα τρία σημεία δίνονται από τις συντεταγμένες τους ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ και ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$, η ακτίνα μπορεί να εκφραστεί ως

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\right)\left((x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}\right)\left((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}\right)}}{2|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}|}}.}$

Κανονικά πολύγωνα

Σε ένα κανονικό πολύγωνο με ${\displaystyle n}$ πλευρές και μήκος πλευράς ${\displaystyle s}$, η ακτίνα του είναι ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου,^[3] η οποία δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle R={\frac {s}{2\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}}$.

Γενικεύσεις

Στη θεωρία γράφων, η ακτίνα ενός γράφου είναι η ελάχιστη από όλες τις κορυφές ${\displaystyle u}$, της μέγιστης απόστασης από το ${\displaystyle u}$ σε οποιαδήποτε άλλη κορυφή του γραφήματος.^[4]

Δείτε επίσης

• Διάμετρος
• Κύκλος
• Ακτίνιο