Ακτίνα (γεωμετρία)

Στην γεωμετρία, η ακτίνα ενός κύκλου ή μιας σφαίρας είναι οποιοδήποτε από τα ευθύγραμμα τμήματα από το κέντρο του έως την περίμετρό του και σε πιο σύγχρονη χρήση είναι επίσης το μήκος τους.^[1] Το μήκος της ακτίνας τυπικά συμβολίζεται με ${\displaystyle R}$ ή ${\displaystyle r}$ ή ${\displaystyle \rho }$. Η διάμετρος ${\displaystyle d}$ ορίζεται ως διπλάσια της ακτίνας^[2]

${\displaystyle d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.}$

Στον κύκλο με κέντρο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ η ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ είναι διάμετρος και τα ${\displaystyle {\rm {OA,OB,O\Gamma }}}$ είναι ακτίνες.

Εάν ένα γεωμετρικό σχήμα δεν έχει κάποιο κέντρο, ο όρος μπορεί να αναφέρεται στην ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του ή την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η ακτίνα μπορεί να είναι μεγαλύτερη από το μισό της διαμέτρου, η οποία συνήθως ορίζεται ως η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων του σχήματος. Η ακτίνα ενός γεωμετρικού σχήματος είναι συνήθως η ακτίνα του μεγαλύτερου κύκλου ή σφαίρας που περιέχεται σε αυτό. Η εσωτερική ακτίνα ενός δακτυλίου, ενός σωλήνα ή άλλου κοίλου αντικειμένου είναι η ακτίνα της κοιλότητάς του.

Τύπος

Για πολλά γεωμετρικά σχήματα, η ακτίνα έχει μια καλά καθορισμένη σχέση με άλλα μέτρα του σχήματος.

Κύκλοι

Η ακτίνα του κύκλου με περίμετρο (περιφέρεια) ${\displaystyle C}$ είναι:

${\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}}$.

Η ακτίνα ενός κύκλου με εμβαδόν ${\displaystyle {\rm {E}}}$ είναι:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {\rm {E}}{\pi }}}}$.

Τρίγωνο

Η ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα τρία μη συνευθειακά ${\displaystyle {\rm {P}}_{1}}$, ${\displaystyle {\rm {P}}_{2}}$ και ${\displaystyle {\rm {P}}_{3}}$ δίνεται από το:

${\displaystyle r={\frac {|{\vec {\rm {OP_{1}}}}-{\vec {\rm {OP_{3}}}}|}{2\sin {\widehat {\rm {P_{1}P_{2}P_{3}}}}}}}$.

Αυτός ο τύπος χρησιμοποιεί τον νόμο των ημιτόνων. Εάν τα τρία σημεία δίνονται από τις συντεταγμένες τους ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ και ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$, η ακτίνα μπορεί να εκφραστεί ως

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\right)\left((x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}\right)\left((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}\right)}}{2|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}|}}.}$

Κανονικά πολύγωνα

Σε ένα κανονικό πολύγωνο με ${\displaystyle n}$ πλευρές και μήκος πλευράς ${\displaystyle s}$, η ακτίνα του είναι ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου,^[3] η οποία δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle R={\frac {s}{2\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}}$.

Γενικεύσεις

Στη θεωρία γράφων, η ακτίνα ενός γράφου είναι η ελάχιστη από όλες τις κορυφές ${\displaystyle u}$, της μέγιστης απόστασης από το ${\displaystyle u}$ σε οποιαδήποτε άλλη κορυφή του γραφήματος.^[4]

Δείτε επίσης

• Διάμετρος
• Κύκλος
• Ακτίνιο