Αφηρημένη άλγεβρα

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα η άλγεβρα, η αφηρημένη άλγεβρα ή η σύγχρονη άλγεβρα είναι η μελέτη των αλγεβρικών δομών. ^[1] Οι αλγεβρικές δομές περιλαμβάνουν ομάδες, δακτυλίους, πεδία, ενότητες, διανυσματικά κενά, πλέγματα και άλγεβρες πάνω από ένα πεδίο. Ο όρος αφηρημένη άλγεβρα επινοήθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα, για να διακρίνει αυτόν τον τομέα μελέτης από παλαιότερα μέρη της άλγεβρας και πιο συγκεκριμένα, από τη στοιχειώδη άλγεβρα, τη χρήση μεταβλητών για την αναπαράσταση αριθμών στον υπολογισμό και τη λογική.

Οι μεταθέσεις του κύβου του Ρούμπικ σχηματίζουν μια ομάδα, μια θεμελιώδη έννοια μέσα στην αφηρημένη άλγεβρα.

Οι αλγεβρικές δομές, με τους συναφείς ομομορφισμούς τους, σχηματίζουν μαθηματικές κατηγορίες. Η θεωρία κατηγορίας είναι ένας φορμαλισμός, που επιτρέπει έναν ενιαίο τρόπο έκφρασης ιδιοτήτων και κατασκευών, που είναι παρόμοιες για διάφορες δομές.

Η καθολική άλγεβρα είναι ένα σχετικό θέμα, που μελετά τύπους αλγεβρικών δομών ως μεμονωμένα αντικείμενα. Για παράδειγμα, η δομή των ομάδων είναι ένα ενιαίο αντικείμενο στην καθολική άλγεβρα, το οποίο ονομάζεται ποικιλία ομάδων.

Ιστορία

Πριν από τον δέκατο ένατο αιώνα, η άλγεβρα οριζόταν ως η μελέτη των πολυωνύμων^[2]. Η αφηρημένη άλγεβρα δημιουργήθηκε κατά τη διάρκεια του δέκατου ένατου αιώνα, καθώς αναπτύχθηκαν πιο πολύπλοκα προβλήματα και μέθοδοι επίλυσης. Συγκεκριμένα προβλήματα και παραδείγματα προέρχονταν από τη θεωρία αριθμών, τη γεωμετρία, την ανάλυση και τις λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων. Οι περισσότερες θεωρίες που σήμερα αναγνωρίζονται ως τμήματα της αφηρημένης άλγεβρας ξεκίνησαν ως συλλογές ανομοιογενών γεγονότων από διάφορους κλάδους των μαθηματικών, απέκτησαν ένα κοινό θέμα που χρησίμευσε ως πυρήνας γύρω από τον οποίο ομαδοποιήθηκαν διάφορα αποτελέσματα και τελικά ενοποιήθηκαν με βάση ένα κοινό σύνολο εννοιών. Αυτή η ενοποίηση συνέβη στις πρώτες δεκαετίες του 20ού αιώνα και οδήγησε στους τυπικούς αξιωματικούς ορισμούς διαφόρων αλγεβρικών δομών, όπως οι ομάδες, οι δακτύλιοι και τα πεδία^[3]. Αυτή η ιστορική εξέλιξη είναι σχεδόν αντίθετη από την αντιμετώπιση που συναντάται σε δημοφιλή εγχειρίδια, όπως το βιβλίο του βαν ντερ Βέρντε «Μοντέρνα Άλγεβρα»^[4] , τα οποία ξεκινούν κάθε κεφάλαιο με έναν τυπικό ορισμό μιας δομής και στη συνέχεια τον ακολουθούν με συγκεκριμένα παραδείγματα^[5].

Εφαρμογές

Λόγω της γενικότητάς της, η αφηρημένη άλγεβρα χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και των επιστημών. Επί παραδείγματι, η αλγεβρική τοπολογία χρησιμοποιεί αλγεβρικά αντικείμενα για τη μελέτη των τοπολογιών. Η εικασία Πουανκαρέ, που αποδείχθηκε το 2003, υποστηρίζει ότι η θεμελιώδης ομάδα μιας πολλαπλότητας, η οποία κωδικοποιεί πληροφορίες σχετικά με τη συνδεσιμότητα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθοριστεί αν μια πολλαπλότητα είναι σφαίρα ή όχι. Η αλγεβρική θεωρία αριθμών μελετά διάφορους αριθμητικούς δακτυλίους που γενικεύουν το σύνολο των ακεραίων αριθμών. Χρησιμοποιώντας εργαλεία της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, ο Άντριου Γουάιλς απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

Στη φυσική, οι ομάδες χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση πράξεων συμμετρίας και η χρήση της θεωρίας ομάδων θα μπορούσε να απλοποιήσει τις διαφορικές εξισώσεις. Στη θεωρία μετρητών, η απαίτηση της τοπικής συμμετρίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή των εξισώσεων που περιγράφουν ένα σύστημα. Οι ομάδες που περιγράφουν αυτές τις συμμετρίες είναι οι ομάδες Λι, και η μελέτη των ομάδων Λι και των αλγεβρών Λι αποκαλύπτει πολλά για το φυσικό σύστημα- για παράδειγμα, ο αριθμός των φορέων δυνάμεων σε μια θεωρία είναι ίσος με τη διάσταση της άλγεβρας Λι, και αυτά τα μποζόνια αλληλεπιδρούν με τη δύναμη που μεσολαβούν, αν η άλγεβρα Λι είναι μη αβελιανή^[6].

Βιβλιογραφία

• Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1999), A Course in Universal Algebra, http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
• Gilbert, Jimmie; Gilbert, Linda (2005), Elements of Modern Algebra, Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-40264-8
• Sethuraman, B. A. (1996), Rings, Fields, Vector Spaces, and Group Theory: An Introduction to Abstract Algebra via Geometric Constructibility, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94848-5, https://archive.org/details/ringsfieldsvecto0000seth
• Whitehead, C. (2002), Guide to Abstract Algebra (2nd έκδοση), Houndmills: Palgrave, ISBN 978-0-333-79447-0
• W. Keith Nicholson (2012) Introduction to Abstract Algebra, 4th edition, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8 .
• John R. Durbin (1992) Modern Algebra : an introduction, John Wiley & Sons