Εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ λέγεται εγγεγραμμένο ή εγγράψιμο ή κυκλικό αν οι κορυφές του ${\displaystyle {\rm {A}}}$, ${\displaystyle {\rm {B}}}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$.^{[1]:111[2]:134[3]:38}

Ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$.

Ιδιότητες

Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου τέμνονται στο περίκεντρο.

Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}={\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}}=180^{\circ }}$.

Κάθε γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της, π.χ. η ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}}$ είναι ίση με την εξωτερική της ${\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}}$.

Οι γωνίες είναι ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }}}={\widehat {\rm {\Delta B\Gamma }}}}$.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται περίκεντρο.

Απόδειξη

(${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ ένα κυρτό εγγεγραμμένο τετράπλευρο, όπου ο περιγεγραμμένος του κύκλος έχει κέντρο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle \rho }$. Τότε, αφού τα ${\displaystyle {\rm {A}}}$, ${\displaystyle {\rm {B}}}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$ ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {OA}}={\rm {OB}}={\rm {O\Gamma }}={\rm {O\Delta }}=\rho }$. Επομένως, καταλήγουμε ότι το ${\displaystyle {\rm {O}}}$ ανήκει στις μεσοκαθέτους των ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, ${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta A}}}$. (${\displaystyle \Leftarrow }$) Έστω ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ ένα κυρτό τετράπλευρο, όπου οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το σημείο ${\displaystyle {\rm {O}}}$. Τότε, έχουμε ${\displaystyle {\rm {OA}}={\rm {OB}}={\rm {O\Gamma }}={\rm {O\Delta }}}$, και επομένως ο κύκλος με κέντρο ${\displaystyle {\rm {O}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle {\rm {OA}}}$ διέρχεται από τα ${\displaystyle {\rm {A}}}$, ${\displaystyle {\rm {B}}}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$, συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. ${\displaystyle \square }$

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }}$ή ${\displaystyle {\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}}=180^{\circ }}$
• Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.

Απόδειξη

Η συνθήκη αυτή προκύπτει από την προηγούμενη, καθώς η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματική της εσωτερικής.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, π.χ. ${\displaystyle {\widehat {\rm {A\Gamma B}}}={\widehat {\rm {A\Delta B}}}}$.

Το ${\displaystyle {\rm {I_{1}I_{2}I_{3}I_{4}}}}$ ορθογώνιο και ${\displaystyle \rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}}$.

• Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$, θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους ${\displaystyle ({\rm {I}}_{1},\rho _{1})}$, ${\displaystyle ({\rm {I}}_{2},\rho _{2})}$, ${\displaystyle ({\rm {I}}_{3},\rho _{3})}$ και ${\displaystyle ({\rm {I}}_{4},\rho _{4})}$ των τριγώνων ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$, ${\displaystyle {\rm {B\Gamma \Delta }}}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta AB}}}$. Τότε ισχύει ότι
  • Το τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {I_{1}I_{2}I_{3}I_{4}}}}$ είναι ορθογώνιο, και
  • (Ιαπωνικό θεώρημα) ${\displaystyle \rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}}$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ με μήκη πλευρών ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ δίνεται από τον τύπο του Βραγχμαγκούπτα (ο οποίος γενικεύει τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα)

${\displaystyle {\rm {E}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}}$,

όπου ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )}$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$, το εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν (δείτε εδώ).^[4]

Μετρικές σχέσεις

• (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ ισχύει ότι^[5][6]

${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {B\Delta }}=\alpha \gamma +\beta \delta }$.

• (2o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ ισχύει ότι

${\displaystyle {\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}}$.

• Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις

${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}={\sqrt {\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad {\rm {B\Delta }}={\sqrt {\frac {(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \gamma +\beta \delta }}}}$.

Απόδειξη

Οι τύποι αυτοί προκύπτουν από το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου. Για παράδειγμα, από τον πολλαπλασιαμό των σχέσεων ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {B\Delta }}=\alpha \gamma +\beta \delta }$, και ${\displaystyle {\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}}$, λαμβάνουμε ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}^{2}={\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }}}$, που οδηγεί στον πρώτο τύπο.

• (Θεώρημα τεμνόμενων χορδών) Σε ένα εγγεγραμμένο τεράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ όπου ${\displaystyle {\rm {I}}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ${\displaystyle {\rm {A\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {B\Delta }}}$, ισχύει ότι

${\displaystyle {\rm {AI}}\cdot {\rm {I\Gamma }}={\rm {BI}}\cdot {\rm {I\Delta }}}$.

• Η ακτίνα ${\displaystyle R}$ του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}}}$.

Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ με πλευρές ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}={\frac {\alpha \beta \gamma }{4R}}}$. Τώρα στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ τον εφαρμόζουμε στα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A\Delta \Gamma }}}$ που έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι ${\displaystyle {\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {A\Delta \Gamma }}={\frac {\alpha \beta {\rm {A\Gamma }}}{4R}}+{\frac {\gamma \delta {\rm {A\Gamma }}}{4R}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{4R}}\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )}$. Λύνοντας προς ${\displaystyle R}$ λαμβάνουμε ${\displaystyle R={\frac {\rm {A\Gamma }}{4{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )}$. Τέλος, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Βραχμαγκούπτα για το εμβαδόν του ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ και τον τύπο για το μήκος της διαγωνίου λαμβάνουμε το ζητούμενο.

• Για την γωνία ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}}$ ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ ισχύει ότι^[7]

${\displaystyle \sin {\hat {\rm {A}}}={\frac {2{\sqrt {(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}}{(\alpha \delta +\beta \gamma )}},}$

${\displaystyle \cos {\hat {\rm {A}}}={\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}}{2(\alpha \delta +\beta \gamma )}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )(\tau -\delta )}{(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}}}}$,

όπου ${\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )}$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Ειδικές περιπτώσεις

• Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγράψιμο και είναι το μόνο εγγράψιμο παραλληλόγραμμο.
• Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο και είναι το μόνο εγγράψιμο τραπέζιο.

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο.

• Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο).

Εφαρμογές

Τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:

• Στην απόδειξη ύπαρξης του ορθόκεντρου τριγώνου
• Στον απόδειξη του κύκλου Όιλερ ενός τριγώνου
• Στην απόδειξη της ευθείας Σίμσον
• Στην απόδειξη του θεωρήματος Νάγκελ
• Στην απόδειξη του σημείου Στάινερ
• Στην απόδειξη του σημείου ΜακΛώριν

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Εγγεγραμμένο πολύγωνο
• Περιγεγραμμένο τετράπλευρο