Εικασία Έρντος για τις αριθμητικές προόδους

Η εικασία του Έρντος για τις αριθμητικές προόδους, που συχνά αναφέρεται ως εικασία Έρντος-Τουράν, είναι μια εικασία στην αριθμητική συνδυαστική (δεν πρέπει να συγχέεται με την εικασία Έρντος-Τουράν για τις προσθετικές βάσεις). Δηλώνει ότι αν το άθροισμα των αμοιβαίων των μελών ενός συνόλου Α θετικών ακεραίων αποκλίνει, τότε το Α περιέχει αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους.

Άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά: Μήπως κάθε μεγάλο σύνολο φυσικών αριθμών περιέχει αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους;

Τυπικά, η εικασία δηλώνει ότι αν το Α είναι ένα μεγάλο σύνολο με την έννοια ότι

${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}\ =\ \infty ,}$

τότε το Α περιέχει αριθμητικές προόδους οποιουδήποτε μήκους, που σημαίνει ότι για κάθε θετικό ακέραιο k υπάρχει ένας ακέραιος a και ένας μη μηδενικός ακέραιος c τέτοιος ώστε ${\displaystyle \{a,a{+}c,a{+}2c,\ldots ,a{+}kc\}\subset A}$.

Το θεώρημα Γκριν-Τάο^[1] για τις αριθμητικές πρόοδους πρώτων αριθμών είναι μια ειδική περίπτωση αυτής της εικασίας.

Ιστορία

Το 1936, οι Έρντος και Τουράν διατύπωσαν την ασθενέστερη εικασία ότι κάθε σύνολο ακεραίων με θετική φυσική πυκνότητα περιέχει άπειρο αριθμό αριθμητικών προόδων 3 όρων.^[2] Αυτό αποδείχθηκε από τον Κλάους Ροθ το 1952 και γενικεύτηκε σε αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους από τον Ζεμερέντι το 1975 σε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα του Ζεμερέντι.

Σε μια ομιλία του 1976 με τίτλο «Στη μνήμη του φίλου και μόνιμου συνεργάτη μου Πολ Τουράν», ο Πολ Έρντος προσέφερε βραβείο 3000 δολαρίων ΗΠΑ για την απόδειξη αυτής της εικασίας^[3] Από το 2008 το πρόβλημα αξίζει 5000 δολάρια ΗΠΑ^[4].

Πρόοδος και συναφή αποτελέσματα

Η εικασία του Έρντος για την αριθμητική πρόοδο μπορεί να θεωρηθεί ως μια ισχυρότερη εκδοχή του θεωρήματος του Ζεμερέντι. Επειδή το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών αποκλίνει, το θεώρημα Γκριν-Τάο για την αριθμητική πρόοδο αποτελεί ειδική περίπτωση της εικασίας.

Ο ασθενέστερος ισχυρισμός ότι το Α πρέπει να περιέχει άπειρες αριθμητικές πρόοδους μήκους 3 είναι συνέπεια ενός βελτιωμένου ορίου στο θεώρημα του Ροθ. Μια εργασία του 2016 από τον Μπλουμ^[5] απέδειξε ότι αν ${\displaystyle A\subset \{1,..,N\}}$ δεν περιέχει καμία μη τετριμμένη αριθμητική πρόοδο τριών όρων τότε ${\displaystyle |A|\ll N(\log {\log {N}})/\log {N}}$.

Το 2020 μια προδημοσίευση των Μπλουμ και Σίσασκ^[6] βελτίωσε το όριο σε ${\displaystyle |A|\ll N/(\log {N})^{1+c}}$ για κάποια απόλυτη σταθερά ${\displaystyle c>0}$ .

Το 2023 βρέθηκε ένα νέο όριο του ${\displaystyle \exp(-c(\log N)^{1/12})N}$^[7][8][9] από τους επιστήμονες υπολογιστών Κέλεϊ και Μέκα, με μια έκθεση που δόθηκε σε πιο οικεία μαθηματική γλώσσα από τους Μπλουμ και Σίσασκ,^[10][11] οι οποίοι έκτοτε βελτίωσαν τον εκθέτη του ορίου Κέλι-Μέκα σε ${\displaystyle \beta =1/9}$ και υπέθεσαν το ${\displaystyle \beta =5/41}$ σε ένα προτυπωμένο κείμενο.^[12]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Προβλήματα του Λαντάου
• Εικασία του Λεζάντρ
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Zhao, Yufei (31 Αυγούστου 2023). Graph Theory and Additive Combinatorics: Exploring Structure and Randomness. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-31094-9.
• Fraser, Jonathan M. (29 Οκτωβρίου 2020). Assouad Dimension and Fractal Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47865-6.
• PAULYMATH. Lulu.com. ISBN 978-1-365-68021-2.
• Dodos, Pandelis· Kanellopoulos, Vassilis (16 Μαΐου 2016). Ramsey Theory for Product Spaces. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2808-2.
• Cholak, Peter (2000). Computability Theory and Its Applications: Current Trends and Open Problems : Proceedings of a 1999 AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference, Computability Theory and Applications, June 13-17, 1999, University of Colorado, Boulder. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1922-7.
• Petersen, Karl E.· Petersen, Karl (23 Νοεμβρίου 1989). Ergodic Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38997-6.
• Foreman, M. (25 Μαΐου 2000). Descriptive Set Theory and Dynamical Systems. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78644-7.
• Prömel, Hans Jürgen (4 Δεκεμβρίου 2013). Ramsey Theory for Discrete Structures. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01315-2.
• Zhao, Yufei (31 Αυγούστου 2023). Graph Theory and Additive Combinatorics: Exploring Structure and Randomness. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-31094-9.
• Fischer, Felix· Johnson, Robert (13 Ιουνίου 2024). Surveys in Combinatorics 2024. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-49054-2.
• Wigderson, Avi (29 Οκτωβρίου 2019). Mathematics and Computation: A Theory Revolutionizing Technology and Science. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-19254-3.