Θεώρημα του Θαλή

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του Θαλή (ή αλλιώς το θεώρημα τομής), είναι ένα θεώρημα που αφορά τις αναλογίες των ευθυγράμμων τμημάτων, τα οποία δημιουργούνται όταν δύο τεμνόμενες μεταξύ τους ευθείες τέμνονται και από ένα ζεύγος παραλλήλων ευθειών.^{[1][2][3]:136-139[4]:9[5]:64}

Το θεώρημα τομής του Θαλή λέει ότι ${\displaystyle {\rm {{\tfrac {\Sigma A}{AB}}={\tfrac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}}$.

Πιο συγκεκριμένα, αν ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ είναι δύο ευθείες παράλληλες, και ${\displaystyle \Sigma }$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου, τότε για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το ${\displaystyle \Sigma }$ τέμνουν την ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ στα σημεία ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$, και την ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ στα ${\displaystyle {\rm {B}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$, ισχύει ότι^[6][7][8]

${\displaystyle {\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}}$.

Αντίστροφα, ισχύει ότι αν

${\displaystyle {\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}}$,

τότε οι ευθείες ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ είναι παράλληλες.

Το θεώρημα παραδοσιακά αποδίδεται στον Έλληνα μαθηματικό Θαλή τον Μιλήσιο.^[9][10] Η πρώτη γνωστή απόδειξη βρίσκεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη (Πρόταση 17 Βιβλίο 11)^[11]. Το θεώρημα είναι ισοδύναμο με αυτό περί των αναλογιών σε όμοια τρίγωνα.

Παραδείγματα

Το αντίστροφο του θεωρήματος τομής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει ότι μια συγκεκριμένη κατασκευή αποδίδει παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα.

• Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο με την τρίτη πλευρά του τριγώνου.
• Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα τα μέσα δύο μη παραλλήλων πλευρών ενός τραπεζίου είναι παράλληλο με τις άλλες δύο πλευρές του τραπεζίου.

Εφαρμογές

Το θεώρημα τομής του Θαλή χρησιμοποιείται στην απόδειξη πολλών θεωρημάτων στην γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων των εξής:

• Θεώρημα διχοτόμου
• Την ύπαρξη του βαρυκέντρου
• Θεώρημα Βαρινιόν
• Στην ευθεία του Όιλερ

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για θεώρημα του Θαλή στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Θαλή σε ασύμβατες ευθείες στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Θαλή στο Geogebra

Ελληνικά άρθρα

• Αρδαβάνη, Καλλιόπη; Μάλλιαρης, Χρήστος (Οκτώβριος 2022). «Το θεώρημα Θαλή και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Α΄ (126): 29-31. http://niobe.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_t126_2022.pdf.
• Στέλλας Χρήστος; Μαρουσάκης Παρασκευάς (1980). «Θεώρημα Θαλή». Ευκλείδης Α΄ (4): 111-113. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1371.
• Γ. Δημάκος; Δ. Κοντογιάννης (1986). «Το θεώρημα Θαλή και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Β΄ (1): 43-45. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=1371.
• «Θεώρημα Θαλή». Ευκλείδης Β΄ (1): 21-26. 1977. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3108.
• Δ. Ζέρβας; Λ. Γιαννακόπουλος (1977). «Θαλής και ομοιότητα». Ευκλείδης Β΄ (1): 24-27. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2768.