Λογική σύζευξη

Στη μαθηματική λογική, σύζευξη είναι ο λογικός τελεστής που δίνει αποτέλεσμα αληθές όταν και οι δύο όροι στους οποίους ενεργεί είναι αληθής. Στην καθομιλουμένη γλώσσα αντιστοιχεί στην φράση "και".

Για τη λογική σύζευξη χρησιμοποιούνται τα σύμβολα AND (από την αγγλική λέξη and για το και), ${\displaystyle \&\&}$ και ${\displaystyle \wedge }$.^{[1]:147-148[2]:21[3]:17[4]:17[5]:154}

Πίνακας αλήθειας

Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αλήθειας για την πρόταση ${\displaystyle p\land q}$:

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\land q}$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

όπου 0 είναι ψευδής και 1 είναι αληθής.

Ιδιότητες

• Η σύζευξη είναι ταυτοδυναμία, δηλαδή ${\displaystyle x\land x=x}$.

Απόδειξη

Προκύπτει από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα αληθείας.

• Το ${\displaystyle 1}$ είναι ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή ${\displaystyle x\land 1=1\land x=x}$.

Απόδειξη

Προκύπτει από την δεύτερη και την τελευταία γραμμή του πίνακα αληθείας.

• Το ${\displaystyle 0}$ είναι απορροφητικό στοιχείο, δηλαδή ${\displaystyle x\land 0=0\land x=0}$.

Απόδειξη

Προκύπτει από τις πρώτες τελευταίες γραμμές του πίνακα αληθείας.

• Ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή ${\displaystyle x\land y=y\land x}$.

Απόδειξη

Προκύπτει από τον πίνακα αληθείας.

• Ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή ${\displaystyle x\land (y\land z)=(x\land y)\land z}$.

Απόδειξη

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x\land (y\land z)}$ ${\displaystyle (x\land y)\land z}$ 0 0 0 ${\displaystyle 0\land 0=0}$ ${\displaystyle 0\land 0=0}$ 0 0 1 ${\displaystyle 0\land 0=1}$ ${\displaystyle 0\land 1=1}$ 0 1 0 ${\displaystyle 0\land 0=1}$ ${\displaystyle 0\land 0=1}$ 0 1 1 ${\displaystyle 0\land 1=1}$ ${\displaystyle 0\land 1=1}$ 1 0 0 ${\displaystyle 1\land 0=1}$ ${\displaystyle 0\land 0=1}$ 1 0 1 ${\displaystyle 1\land 0=1}$ ${\displaystyle 0\land 1=1}$ 1 1 0 ${\displaystyle 1\land 0=1}$ ${\displaystyle 1\land 0=1}$ 1 1 1 ${\displaystyle 1\land 1=1}$ ${\displaystyle 1\land 1=1}$

• Ικανοποιεί την επιμεριστική ιδιότητα ως προς τη λογική διάζευξη, δηλαδή

${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$, και

${\displaystyle x\lor (y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)}$.

Δείτε επίσης

• Άλγεβρα Μπουλ
• Λογική διάζευξη
• Αποκλειστική διάζευξη
• Τομή συνόλων