Ταυτότητα του Όιλερ

Στη μαθηματική ανάλυση, η ταυτότητα του Όιλερ , είναι η εξίσωση^{[1][2]:11[3]:16}

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,\!}$

όπου

${\displaystyle e\,\!}$ είναι ο αριθμός του Όιλερ, η βάση των φυσικών λογαρίθμων,

${\displaystyle i\,\!}$ είναι ο φανταστικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με μείον ένα, και

${\displaystyle \pi \,\!}$ ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Πήρε το όνομά της από τον Λέοναρντ Όιλερ και μερικές φορές είναι γνωστή και ως εξίσωση του Όιλερ.

Απόδειξη

Ο τύπος του Όιλερ για τυχαία γωνία.

Η ταυτότητα είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου του Όιλερ, σύμφωνα με την οποία

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$

για κάθε πραγματικό αριθμό x και όπου οι μονάδες δίνονται σε ακτίνια. Συγκεκριμένα, αν

${\displaystyle x=\pi ,\,\!}$

τότε

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}$

Αφού

${\displaystyle \cos \pi =-1\quad }$και${\displaystyle \quad \sin \pi =0}$,

συνεπώς,

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}$

που δίνει την ταυτότητα

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Ονομασία

Αν και ο Όιλερ έγραψε για τη φόρμουλά του συνδέοντας το e με τους όρους ημίτονο και συνημίτονο, δεν υπάρχει πουθενά αναφορά ότι ο ίδιος απέδειξε την απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα η ίδια η φόρμουλα είναι πιθανό να ήταν γνωστή πριν από τον Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο να απαντηθεί το ερώτημα αν η ταυτότητα μπορεί να αποδοθεί στον Όιλερ.

Δείτε επίσης

• Τύπος του Όιλερ
• e (μαθηματική σταθερά)