Γκαουσιανή απαλοιφή
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στη γραμμική άλγεβρα, η Γκαουσιανή απαλοιφή ή απαλοιφή Gauss είναι ένας αλγόριθμος για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Είναι συνήθως αντιληπτή ως ακολουθία από πράξεις που εκτελούνται στις γραμμές του πίνακα των συντελεστών. Ο αλγόριθμος ουσιαστικά μετατρέπει τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος σε πίνακα κλιμακωτής μορφής, που χρησιμοποιείται επίσης για την εύρεση της τάξης του πίνακα, για τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα και για τον υπολογισμό του αντιστρόφου τετραγωνικού πίνακα (όταν υπάρχει). Η μέθοδος πήρε το όνομά της από τον Carl Friedrich Gauss (1777-1855), αν και ήταν ήδη γνωστή από τους Κινέζους μαθηματικούς από το 179 π.Χ.).
Αυτό το λήμμα χρειάζεται μετάφραση.
Αν θέλετε να συμμετάσχετε, μπορείτε να επεξεργαστείτε το λήμμα μεταφράζοντάς το ή προσθέτοντας δικό σας υλικό και να αφαιρέσετε το {{μετάφραση}} μόλις το ολοκληρώσετε. Είναι πιθανό (και επιθυμητό) το ξενόγλωσσο κείμενο να έχει κρυφτεί σαν σχόλιο με τα <!-- και -->. Πατήστε "επεξεργασία" για να δείτε ολόκληρο το κείμενο. |
Η βασική ιδέα του αλγορίθμου είναι ότι οι γραμμές του πίνακα μπορούν να τροποποιηθούν χρησιμοποιώντας κάποιους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, χωρίς όμως να αλλάξει ο χώρος των στηλών του και επομένως και η λύσεις του συστήματος. Ο αλγόριθμος τροποποιεί τον πίνακα μέχρι την κάτω αριστερή γωνία του συμπληρώνοντάς τον με όσο το δυνατόν περισσότερα μηδενικά. Υπάρχουν τρεις τύποι επιτρεπόμενων στοιχειωδών ενεργειών:
- Αντιμετάθεση δύο γραμμών
- Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με ένα μη-μηδενικό αριθμό
- Πρόσθεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής σε μία άλλη γραμμή
Χρησιμοποιώντας αυτές τις ενέργειες, κάθε πίνακας μπορεί να μετατραπεί σε έναν άνω τριγωνικού πίνακα σε κλιμακωτή μορφή (ή ακόμη και σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή). Αυτή η τελική μορφή του πίνακα είναι μοναδική, με άλλα λόγια, είναι ανεξάρτητη από την ακολουθία των ενεργειών που χρησιμοποιούνται. Για παράδειγμα, στην παρακάτω ακολουθία εργασιών σε κάθε γραμμή (όπου πολλαπλές στοιχειώδεις λειτουργίες μπορεί να γίνουν σε κάθε βήμα), ο τέταρτος πίνακας είναι σε κλιμακωτή μορφή και ο πέμπτος πίνακας είναι σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή (και οι δύο μορφές είναι μοναδικές).
Η χρήση των παραπάνω ενεργειών με σκοπό ο πίνακας να πάρει την κλιμακωτή μορφή ονομάζεται απαλοιφή Gauss. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο απαλοιφή Gauss για να αναφερθούν στη διαδικασία μέχρι ο πίνακας να γίνει κλιμακωτός, ή ανηγμένος κλιμακωτός μορφή. Για υπολογιστικούς λόγους, κατά την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, μερικές φορές είναι προτιμότερο οι ενέργειες να σταματήσουν προτού πάρει όλος ο πίνακας την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή.