Πληθικός αριθμός
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στα μαθηματικά, οι πληθικοί αριθμοί , ή πληθάριθμοι[1] για συντομία, είναι μια γενίκευση των φυσικών αριθμών που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν την πληθικότητα (μέγεθος) των συνόλων. Η πληθικότητα ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ένας φυσικός αριθμός: ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου.Οι άπειροι πληθικοί αριθμοί περιγράφουν τα μεγέθη των άπειρων συνόλων.
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Η πληθικότητα ορίζεται με βάση συναρτήσεις που είναι αμφιέσεις. Δύο σύνολα έχουν την ίδια πληθικότητα, αν, και μόνο αν, υπάρχει μια ένα-προς-ένα και επί αντιστοιχία (αμφίεση) μεταξύ των στοιχείων των δύο συνόλων. Στην περίπτωση των πεπερασμένων συνόλων, αυτό συμφωνεί με τη διαισθητική έννοια του μεγέθους. Στην περίπτωση άπειρων συνόλων, η συμπεριφορά είναι πιο περίπλοκη. Το θεμελιώδες θεώρημα του Georg Cantor δείχνει ότι είναι δυνατόν άπειρα σύνολα να έχουν διαφορετικές πληθικότητες, και ιδίως η πληθικότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερη από την πληθικότητα του συνόλου των φυσικών αριθμών. Είναι επίσης δυνατό ένα κατάλληλο υποσύνολο ενός απείρου συνόλου να έχει την ίδια πληθικότητα με το αρχικό σύνολο, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί με την κατάλληλα υποσύνολα των πεπερασμένων συνόλων.
Υπάρχει μια άπειρη ακολουθία πληθικών αριθμών:
- ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }
Αυτή η ακολουθία αρχίζει με τους φυσικούς αριθμούς συμπεριλαμβανομένου του μηδενός (πεπερασμένοι πληθάριθμοι), τους οποίους ακολουθούν οι aleph αριθμοί (άπειροι πληθάριθμοι των καλά διατεταγμένων συνόλων). Οι aleph αριθμοί περιέχονται στους διατακτικούς αριθμούς. Υπό την παραδοχή ότι ισχύει το αξίωμα της επιλογής, αυτή η άπειρη ακολουθία περιλαμβάνει κάθε πληθικό αριθμό. Αν κάποιος απορρίψει αυτό το αξίωμα, η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη, με επιπλέον άπειρους πληθικούς αριθμούς, πέραν των alephs.
Η πληθικότητα μελετάται ως μέρος της θεωρίας συνόλων. Είναι επίσης ένα εργαλείο που χρησιμοποιείται σε κλάδους των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων των θεωρία μοντέλων, συνδυαστική ανάλυση, αφηρημένη άλγεβρα, μαθηματική ανάλυση. Οι πληθικοί αριθμοί αποτελούν τον σκελετό στην θεωρία κατηγοριών.