Table of Clebsch–Gordan coefficients

This is a table of Clebsch–Gordan coefficients used for adding angular momentum values in quantum mechanics. The overall sign of the coefficients for each set of constant ${\displaystyle j_{1}}$, ${\displaystyle j_{2}}$, ${\displaystyle j}$ is arbitrary to some degree and has been fixed according to the Condon–Shortley and Wigner sign convention as discussed by Baird and Biedenharn.^[1] Tables with the same sign convention may be found in the Particle Data Group's Review of Particle Properties^[2] and in online tables.^[3]

Formulation

The Clebsch–Gordan coefficients are the solutions to

${\displaystyle |j_{1},j_{2};j,m\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}\rangle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};j,m\rangle }$

Explicitly:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};j,m\rangle \\[6pt]={}&\delta _{m,m_{1}+m_{2}}{\sqrt {\frac {(2j+1)(j+j_{1}-j_{2})!\,(j-j_{1}+j_{2})!\,(j_{1}+j_{2}-j)!}{(j_{1}+j_{2}+j+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&{\sqrt {(j+m)!\,(j-m)!\,(j_{1}-m_{1})!\,(j_{1}+m_{1})!\,(j_{2}-m_{2})!\,(j_{2}+m_{2})!}}\ \times {}\\[6pt]&\sum _{k}{\frac {(-1)^{k}}{k!\,(j_{1}+j_{2}-j-k)!\,(j_{1}-m_{1}-k)!\,(j_{2}+m_{2}-k)!\,(j-j_{2}+m_{1}+k)!\,(j-j_{1}-m_{2}+k)!}}.\end{aligned}}}$

The summation is extended over all integer k for which the argument of every factorial is nonnegative.^[4]

For brevity, solutions with m < 0 and j₁ < j₂ are omitted. They may be calculated using the simple relations

${\displaystyle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};j,m\rangle =(-1)^{j-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};j,-m\rangle .}$

and

${\displaystyle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};j,m\rangle =(-1)^{j-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};j,m\rangle .}$

Specific values

The Clebsch–Gordan coefficients for j values less than or equal to 5/2 are given below.^[5]

 j₂ = 0

When j₂ = 0, the Clebsch–Gordan coefficients are given by ${\displaystyle \delta _{j,j_{1}}\delta _{m,m_{1}}}$.

 j₁ = ⁠1/2⁠,  j₂ = ⁠1/2⁠

m = 1

j m1, m2	1
⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = −1

j m1, m2	1
−⁠1/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = 0

j m1, m2	1	0
⁠1/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$

 j₁ = 1,  j₂ = 1/2

m = ⁠3/2⁠

j m1, m2	⁠3/2⁠
1, ⁠1/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = ⁠1/2⁠

j m1, m2	⁠3/2⁠	⁠1/2⁠
1, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$
0, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{3}}}}$

 j₁ = 1,  j₂ = 1

m = 2

j m1, m2	2
1, 1	${\displaystyle 1}$

m = 1

j m1, m2	2	1
1, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$
0, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$

m = 0

j m1, m2	2	1	0
1, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{6}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{3}}}}$
0, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{3}}}}$
−1, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{6}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{3}}}}$

 j₁ = ⁠3/2⁠,  j₂ = ⁠1/2⁠

m = 2

j m1, m2	2
⁠3/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = 1

j m1, m2	2	1
⁠3/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{4}}}}$
⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{4}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$

m = 0

j m1, m2	2	1
⁠1/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$

 j₁ = ⁠3/2⁠,  j₂ = 1

m = ⁠5/2⁠

j m1, m2	⁠5/2⁠
⁠3/2⁠, 1	${\displaystyle 1}$

m = ⁠3/2⁠

j m1, m2	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠
⁠3/2⁠, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$
⁠1/2⁠, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$

m = ⁠1/2⁠

j m1, m2	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠	⁠1/2⁠
⁠3/2⁠, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{10}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$
⁠1/2⁠, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{15}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{3}}}}$
−⁠1/2⁠, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{10}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {8}{15}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{6}}}}$

 j₁ = ⁠3/2⁠,  j₂ = ⁠3/2⁠

m = 3

j m1, m2	3
⁠3/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = 2

j m1, m2	3	2
⁠3/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$
⁠1/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$

m = 1

j m1, m2	3	2	1
⁠3/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{10}}}}$
⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{10}}}}$

m = 0

j m1, m2	3	2	1	0
⁠3/2⁠, −⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{20}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{20}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
⁠1/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{20}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{20}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{20}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{20}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
−⁠3/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{20}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{20}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$

 j₁ = 2,  j₂ = ⁠1/2⁠

m = ⁠5/2⁠

j m1, m2	⁠5/2⁠
2, ⁠1/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = ⁠3/2⁠

j m1, m2	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠
2, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{5}}}}$
1, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{5}}}}$

m = ⁠1/2⁠

j m1, m2	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠
1, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$
0, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$

 j₁ = 2,  j₂ = 1

m = 3

j m1, m2	3
2, 1	${\displaystyle 1}$

m = 2

j m1, m2	3	2
2, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$
1, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{3}}}}$

m = 1

j m1, m2	3	2	1
2, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{15}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$
1, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{15}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{6}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{10}}}}$
0, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{10}}}}$

m = 0

j m1, m2	3	2	1
1, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{10}}}}$
0, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$
−1, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{10}}}}$

 j₁ = 2,  j₂ = ⁠3/2⁠

m = ⁠7/2⁠

j m1, m2	⁠7/2⁠
2, ⁠3/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = ⁠5/2⁠

j m1, m2	⁠7/2⁠	⁠5/2⁠
2, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{7}}}}$
1, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{7}}}}$

m = ⁠3/2⁠

j m1, m2	⁠7/2⁠	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠
2, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {16}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$
1, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{35}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$
0, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {18}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$

m = ⁠1/2⁠

j m1, m2	⁠7/2⁠	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠	⁠1/2⁠
2, −⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {6}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$
1, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {12}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{10}}}}$
0, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {18}{35}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{35}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$
−1, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{35}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {27}{70}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{10}}}}$

 j₁ = 2,  j₂ = 2

m = 4

j m1, m2	4
2, 2	${\displaystyle 1}$

m = 3

j m1, m2	4	3
2, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$
1, 2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$

m = 2

j m1, m2	4	3	2
2, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$
1, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{7}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{7}}}}$
0, 2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{14}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$

m = 1

j m1, m2	4	3	2	1
2, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{10}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$
1, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{10}}}}$
0, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{10}}}}$
−1, 2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{10}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{5}}}}$

m = 0

j m1, m2	4	3	2	1	0
2, −2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{70}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{10}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$
1, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{10}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{5}}}}$
0, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {18}{35}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{7}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$
−1, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{35}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{10}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{5}}}}$
−2, 2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{70}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{10}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$

 j₁ = ⁠5/2⁠,  j₂ = ⁠1/2⁠

m = 3

j m1, m2	3
⁠5/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = 2

j m1, m2	3	2
⁠5/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{6}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{6}}}}$
⁠3/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{6}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{6}}}}$

m = 1

j m1, m2	3	2
⁠3/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$
⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{3}}}}$

m = 0

j m1, m2	3	2
⁠1/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$

 j₁ = ⁠5/2⁠,  j₂ = 1

m = ⁠7/2⁠

j m1, m2	⁠7/2⁠
⁠5/2⁠, 1	${\displaystyle 1}$

m = ⁠5/2⁠

j m1, m2	⁠7/2⁠	⁠5/2⁠
⁠5/2⁠, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{7}}}}$
⁠3/2⁠, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{7}}}}$

m = ⁠3/2⁠

j m1, m2	⁠7/2⁠	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠
⁠5/2⁠, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$
⁠3/2⁠, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{35}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {4}{15}}}}$
⁠1/2⁠, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{21}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {16}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{15}}}}$

m = ⁠1/2⁠

j m1, m2	⁠7/2⁠	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠
⁠3/2⁠, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {16}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{5}}}}$
⁠1/2⁠, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{35}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$
−⁠1/2⁠, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {18}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$

 j₁ = ⁠5/2⁠,  j₂ = ⁠3/2⁠

m = 4

j m1, m2	4
⁠5/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = 3

j m1, m2	4	3
⁠5/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{8}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{8}}}}$
⁠3/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{8}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{8}}}}$

m = 2

j m1, m2	4	3	2
⁠5/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{28}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{12}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{21}}}}$
⁠3/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {15}{28}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{12}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {8}{21}}}}$
⁠1/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{7}}}}$

m = 1

j m1, m2	4	3	2	1
⁠5/2⁠, −⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{56}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{8}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$
⁠3/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {15}{56}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {49}{120}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{42}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{10}}}}$
⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {15}{28}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{60}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {25}{84}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{20}}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{28}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {9}{20}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{28}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{20}}}}$

m = 0

j m1, m2	4	3	2	1
⁠3/2⁠, −⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{10}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$
⁠1/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{10}}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{5}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{10}}}}$
−⁠3/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{14}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{10}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{5}}}}$

 j₁ = ⁠5/2⁠,  j₂ = 2

m = ⁠9/2⁠

j m1, m2	⁠9/2⁠
⁠5/2⁠, 2	${\displaystyle 1}$

m = ⁠7/2⁠

j m1, m2	⁠9/2⁠	⁠7/2⁠
⁠5/2⁠, 1	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{9}}}}$
⁠3/2⁠, 2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{9}}}}$	${\displaystyle -{\frac {2}{3}}}$

m = ⁠5/2⁠

j m1, m2	⁠9/2⁠	⁠7/2⁠	⁠5/2⁠
⁠5/2⁠, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{6}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{14}}}}$
⁠3/2⁠, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{9}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{63}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{7}}}}$
⁠1/2⁠, 2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{18}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {32}{63}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{14}}}}$

m = ⁠3/2⁠

j m1, m2	⁠9/2⁠	⁠7/2⁠	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠
⁠5/2⁠, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$
⁠3/2⁠, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{70}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {12}{35}}}}$
⁠1/2⁠, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{21}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{21}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {6}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{35}}}}$
−⁠1/2⁠, 2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{42}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {8}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {27}{70}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {4}{35}}}}$

m = ⁠1/2⁠

j m1, m2	⁠9/2⁠	⁠7/2⁠	⁠5/2⁠	⁠3/2⁠	⁠1/2⁠
⁠5/2⁠, −2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{126}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{63}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {8}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{3}}}}$
⁠3/2⁠, −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{63}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {121}{315}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {6}{35}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{105}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {4}{15}}}}$
⁠1/2⁠, 0	${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{105}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {8}{35}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{35}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}}$
−⁠1/2⁠, 1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {20}{63}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {14}{45}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{21}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {2}{15}}}}$
−⁠3/2⁠, 2	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{126}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {64}{315}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {27}{70}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {32}{105}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{15}}}}$

 j₁ = ⁠5/2⁠,  j₂ = ⁠5/2⁠

m = 5

j m1, m2	5
⁠5/2⁠, ⁠5/2⁠	${\displaystyle 1}$

m = 4

j m1, m2	5	4
⁠5/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$
⁠3/2⁠, ⁠5/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$

m = 3

j m1, m2	5	4	3
⁠5/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{9}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{18}}}}$
⁠3/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{9}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {2}{3}}}$
⁠1/2⁠, ⁠5/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{9}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{18}}}}$

m = 2

j m1, m2	5	4	3	2
⁠5/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{12}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{28}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{12}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{28}}}}$
⁠3/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{12}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{28}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{12}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {9}{28}}}}$
⁠1/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{12}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {5}{28}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{12}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{28}}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠5/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{12}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {9}{28}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{12}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {5}{28}}}}$

m = 1

j m1, m2	5	4	3	2	1
⁠5/2⁠, −⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{42}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{3}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{7}}}}$
⁠3/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{30}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {8}{35}}}}$
⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{21}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {4}{15}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{35}}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{21}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{30}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {8}{35}}}}$
−⁠3/2⁠, ⁠5/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{42}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{7}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{3}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{7}}}}$

m = 0

j m1, m2	5	4	3	2	1	0
⁠5/2⁠, −⁠5/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{252}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{28}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{36}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {25}{84}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{6}}}}$
⁠3/2⁠, −⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {25}{252}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{28}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {49}{180}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{84}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {9}{70}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{6}}}}$
⁠1/2⁠, −⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {25}{63}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {4}{45}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {4}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{70}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{6}}}}$
−⁠1/2⁠, ⁠1/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {25}{63}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{7}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {4}{45}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {4}{21}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{70}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{6}}}}$
−⁠3/2⁠, ⁠3/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {25}{252}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {9}{28}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {49}{180}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{84}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {9}{70}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{6}}}}$
−⁠5/2⁠, ⁠5/2⁠	${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{252}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{28}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{36}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {25}{84}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5}{14}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{6}}}}$

SU(N) Clebsch–Gordan coefficients

Algorithms to produce Clebsch–Gordan coefficients for higher values of ${\displaystyle j_{1}}$ and ${\displaystyle j_{2}}$, or for the su(N) algebra instead of su(2), are known.^[6] A web interface for tabulating SU(N) Clebsch–Gordan coefficients is readily available.