For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Hiperbola funkcio.

Hiperbola funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio

Ĉi tiu artikolo bezonas poluradon, ĉar ĝi montras stilajn kaj/aŭ gramatikajn kaj/aŭ strukturajn problemojn, kiuj ne konformas al stilogvido. La priskribo de la problemo troviĝas ĉi tie. Bonvolu ŝanĝi la enhavon por plibonigi la artikolon.
Matematikaj funkcioj
Argumentaro, Celaro, Bildaro, Malbildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζη • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco

En matematiko, la hiperbolaj funkcioj estas certaj funkcioj de unu variablo, iel analogaj al la ordinaraj trigonometriaj funkcioj.

Iliaj retroĵetoj estas la inversaj hiperbolaj funkcioj.

La bazaj hiperbolaj funkcioj estas la hiperbola sinuso kaj hiperbola kosinuso, difinitaj per eksponenta funkcio. La aliaj hiperbolaj funkcioj estas difinitaj per ili du, simile al tio kiel per sinuso kaj kosinuso estas difinitaj la aliaj trigonometriaj funkcioj

La hiperbolaj funkcioj preni reelajn valorojn por reelaj argumentoj. La argumento estas iam nomata kiel la hiperbola angulo. En kompleksa analitiko, ili estas simple racionalaj funkcioj de eksponentaj funkcioj, kaj do estas meromorfaj funkcioj.

La grafikaĵo de hiperbola kosinuso estas la kateno, la kurbo formata per fleksebla ĉeno de egala longa denseco, fiksita je siaj finoj kaj pendanta libere sub gravito.

Difinoj

La hiperbolaj funkcioj estas:

Nomo Skribmaniero Difino
Hiperbola sinuso sinh xsh x
Hiperbola kosinuso cosh xch x
Hiperbola tangento tanh xth x
Hiperbola kotangento coth xcth x
Hiperbola sekanto sech x
Hiperbola kosekanto csch
Sinh cosh tanh.svg

sinh, cosh, tanh
Csch sech coth.svg

csch, sech, coth

Proprecoj

kie i estas la imaginara unuo.

sinh(-x) = -sinh x
cosh(-x) = cosh x

De ĉi tie:

tanh(-x) = -tanh x
coth(-x) = -coth x
sech(-x) = sech x
csch(-x) = -csch x

cosh x kaj sech x estas paraj funkcioj, la aliaj el la ses estas neparaj funkcioj.

Identoj por sumo de argumentoj:

por duoblaj argumentoj:

por duonaj argumentoj:

Derivaĵoj

Malderivaĵoj

En la pli supre donitaj esprimoj, C estas la konstanto de integralado.

Serioj

Serioj de Taylor:

Hiperbola kotangento kaj hiperbola kosekanto havas poluson en punkto 0, tiel iliaj seriaj elvolvaĵoj estas serioj de Laurent:

(serio de Laurent)

En la formuloj pli supre

Bn estas la n-a nombro de Bernoulli,
En estas la n-a eŭlera nombro.

Hiperbolaj funkcioj por kompleksaj nombroj

Pro tio ke la eksponenta funkcio estas difinita por ĉiu kompleksa argumento, la difinoj de la hiperbolaj funkcioj uzeblas ankaŭ por kompleksaj argumentoj. La funkcioj sinh z kaj cosh z estas tiam holomorfaj; iliaj serioj de Taylor konverĝas ĉie.

Interrilatoj al trigonometriaj funkcioj estas donitaj per eŭlera formulo, vera por ĉiu kompleksa x:

eix = cos x + i sin x

el ĉi tiu formulo sekvas la sekva formulo

e−ix = cos x - i sin x

kaj tiel

tanh ix = i tan x
cosh x = cos ix
sinh x = -i sin ix
tanh x = -i tan ix

La hiperbolaj funkcioj estas perioda kun kompleksa periodo 2πi (πi por hiperbola tangento kaj hiperbola kotangento).

De la difinoj de hiperbolaj sinuso kaj kosinuso, eblas derivi jenajn identojn:

ex = cosh x + sinh x

kaj

e−x = cosh x - sinh x

Ĉi tiuj esprimoj estas analogoj al la eŭlera formulo.

Complex Sinh.jpg

sinh z
Complex Tanh.jpg

tanh z
Complex Sech.jpg

sech z
Complex Cosh.jpg

cosh z
Complex Coth.jpg

coth z
Complex Csch.jpg

csch z

Simileco al trigonometriaj funkcioj

Radio tra la origino tranĉas la hiperbolon x2-y2 = 1 en la punkto (cosh A, sinh A), kie A estas la areo inter la radio kaj ĝia spegula bildo kun respekto al la x-akso, kaj la hiperbolo
Radio tra la origino tranĉas la hiperbolon x2-y2 = 1 en la punkto (cosh A, sinh A), kie A estas la areo inter la radio kaj ĝia spegula bildo kun respekto al la x-akso, kaj la hiperbolo

Punkto sur la hiperbolo x y = 1 kun x > 1 difinas hiperbolan triangulon en kiu la flanko najbara al la hiperbola angulo estas asociita kun cosh kaj la flanko kontraŭa estas asociita kun sinh. Pro tio ke la punkto (1, 1) sur ĉi tiu hiperbolo estas je distanco √2 de la punkto (0, 0), la normaliga konstanto 1/√2 estas necesa al difini funkciojn cosh kaj sinh per longoj de la flankoj de la hiperbola triangulo.

Simile al tio ke kiel la aro de punktoj (cos t, sin t) estas cirklo, la aro de punktoj (cosh t, sinh t) estas la dekstra duono de la egallatera hiperbolo x2-y2 = 1.

La parametro t estas ne cirkla angulo, sed hiperbola angulo kiu estas duobligita areo inter la x-akso, la hiperbolo kaj la rekto tra punktoj (0, 0) kaj (cosh t, sinh t). Traktado de la parametro kiel duobligita areo fakte taŭgas ankaŭ por la trigonometriaj funkcioj; se konsideri punkton (cos t, sin t) sur cirklo do la argumento t estas duobligita areo de la cirkla sektoro inter la x-akso, la cirklo kaj la rekto tra punktoj (0, 0) kaj (cos t, sin t).

La hiperbolaj funkcioj kontentigas multajn identojn, similajn en formo al tiuj por la trigonometriaj funkcioj. Fakte, regulo de Osborn statas ke eblas konverti ĉiun trigonometrian identon en hiperbolan identon per elvolvanta ĝin plene en termojn de entjeraj potencoj de sinusoj kaj kosinusoj, ŝanĝo de sin al sinh kaj cos al cosh, kaj ŝanĝo de la signo de ĉiu termo kiu enhavas produton de kvanto 2, 6, 10, 14, ... da sinh-oj, kalkulante kun la potencoj. La derivado povas esti farita per trairo al trigonometriaj fukcioj kiel estas donite pli supre. Oni fari anstataŭigon en la fonta trigonometria idento kiel cosh ixj = cos xj kaj sinh ixj = i sin xj por ĉiu variablo xj; ĉi tiu aldona multiplikata imaginara unuo i ĉe sinuso, se en potenco 2, 6, 10, 14, ..., donas la ŝanĝon de signo. Poste necesas ŝanĝi la variablojn wj = ixj kaj la hiperbola idento rezultiĝas.

Ĉi tiel eblas ricevi donitajn pli supre identojn por sumo de argumentoj, por duoblaj argumentoj kaj por duonaj argumentoj

La funkcio de Gudermannian donas interrilaton inter la trigonometriaj kaj la hiperbolaj funkcioj ne engaĝante kompleksajn nombrojn.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Hiperbola funkcio
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.