For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Kvadrata funkcio.

Kvadrata funkcio

El Vikipedio, la libera enciklopedio

Matematikaj funkcioj
Argumentaro, Celaro, Bildaro, Malbildo
Fundamentaj funkcioj
algebraj funkcioj:
konstantalinearakvadratapolinomaracionalaTransformo de Möbius
ceteraj funkcioj:
trigonometriajinversa trigonometriahiperbolaeksponentalogaritmapotenca
Specialaj funkcioj
eraraβΓζη • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τσde Möbiusφπλ
Ecoj:
pareco kaj malparecomonotonecobaritecoperiodecodisĵetecosurĵetecodissurĵeteco
kontinuecoderivaĵecointegralebleco
f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x−2).  La radikoj estas -1 kaj 2.
f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x−2).
La radikoj estas -1 kaj 2.

En matematiko, kvadrata funkcio estas polinoma funkcio de la grado 2, do de formo:

f(x)=ax2+bx+c

kie a≠0.

Ekvacio en kiu la kvadrata funkcio estas egala al nulo estas la kvadrata ekvacio. La solvaĵoj (radikoj) de la ekvacio estas nuloj de la funkcio.

Radikoj

Kvadrata ekvacio estas solvebla per la metodo plenigo de kvadrato.

La du radikoj de la kvadrata ekvacio ax2+bx+c=0, kie a≠0, estas:

Estu diskriminanto D = b2-4ac. Tiam:

  • Se D = 0 do la du radikoj estas egalaj pro tio ke √D estas nulo, aŭ ĉi tio povas esti konsiderata kiel ekzisto de unu radiko de obleco 2.
  • Se D ≠ 0 kaj se konsideri nur reelajn valorojn x do (a, b kaj c estas reelaj):
    • Se D > 0 do estas du malsamaj radikoj pro tio ke √D estas pozitiva reela nombro.
    • Se D < 0 do la radikoj forestas.
  • Se D ≠ 0 kaj se konsideri kompleksajn valorojn x do nepre estas du malsamaj radikoj.
    • Se a, b kaj c estas reelaj kaj D > 0 do estas du malsamaj radikoj pro tio ke √D estas pozitiva reela nombro.
    • Se a, b kaj c estas reelaj kaj D < 0 do la du radikoj estas kompleksaj konjugitoj ĉar √D estas pure imaginara.
    • Se a, b kaj c estas kompleksaj en ĝenerala okazo, la radikoj estas du diversaj kompleksaj nombroj.

Estu la radikoj (eble kompleksaj):

Tiam oni povas faktorigi la funkcion:

f(x) = ax2+bx+c = a (x - r1) (x - r2)

Formuloj de Viète

Formuloj de Viète donas simplajn rilatojn inter radikoj kaj koeficientoj de la funkcio.

La formuloj estas faritaj de François Viète.

Grafikaĵo

La grafikaĵo de reela kvadrata funkcio estas parabolo kies simetria akso estas paralela al la y-akso.

Function ax^2.jpg

f(x) = ax2 + x por a el {0,1, 0,3, 1, 3}
Function x^2+(1 to 4)x.jpg

f(x) = x2 + bx por b el {1, 2, 3, 4}
Function x^2-(1 to 4)x.jpg

f(x) = x2 + bx por b el {-1, -2, -3, -4}

Se a > 0 la parabolo havas branĉoj supren. Se a < 0 la parabolo havas branĉoj suben.

La koeficiento a regas la rapidon de pligrandiĝo de la funkcio ekde la vertico, pli granda pozitiva a faras la funkcion pligrandiĝantan pli rapide kaj la grafikaĵon pli fermitan.

La koeficiento b sola estas la inklino de la parabolo je sekco kun la y-akso.

La koeficientoj a kaj b kune regas la x-koordinaton de la vertico, aŭ la simetriakson de la parabolo.

La koeficiento c sola estas la y-koordinato de sekco de la parabolo kun la y-akso, aŭ ĝenerale ĝi regas alto de la parabolo.

La x-koordinatoj de sekco de la parabolo y=f(x) kun la x-akso estas radikoj de la ekvacio f(x)=0.

La vertico de parabolo estas la loko kie ĝi turnas sian direkton de supren al suben aŭ reen, ĝi estas nomata ankaŭ kiel la turnopunkto.

La funkcio povas esti skribita ankaŭ en la norma formovertica formo:

f(x) = a(x-h)2 + k

Tiam la vertico estas (h, k).

Se

f(x)=ax2+bx+c

do

kaj la vertico estas:

La vertico estas ankaŭ la maksimuma punkto se a < 0 kaj la minimuma punkto se a > 0.

La vertikalo (paralelo al la y-akso), kiu pasas tra la vertico, difinita per:

x=h

estas simetriakso de la parabolo.

Kvadrata radiko de kvadrata funkcio

La kvadrata radiko de kvadrata funkcio priskribas elipson aŭ al hiperbolon (por reelaj x kaj y).

Estu ekvacio:

aŭ ekvivalente:

  • Se a<0 do la ekvacio priskribas elipson aŭ nenion.
    • Se la y-koordinato de la maksimuma punkto de la respektiva parabolo estas pozitiva, tiam la ekvacio priskribas elipson.
    • Se la y-koordinato estas negativa tiam la ekvacio priskribas malplenan aron de punktoj.
  • Se a>0 do la ekvacio priskribas hiperbolon. La akso de la hiperbolo estas difinita per la y-koordinato de la minimuma punkto de la respektiva parabolo .
    • Se la y-koordinato estas negativa, do la hiperbola akso estas horizontala.
    • Se la y-koordinato estas pozitiva, do la hiperbola akso estas vertikala.

Multvariabla kvadrata funkcio

Multvariabla kvadrata funkcio estas polinoma funkcio de la grado 2 de D+1 variabloj, en koordinatoj en D+1-dimensia spaco ĝi estas

kie Q estas D+1 dimensia kvadrata matrico ne egala al la nula matrico kaj P estas D+1 dimensia vektoro kaj R estas nombro. Ĝenerale, la loko de nuloj de ĉi tia funkcio estas kvadriko.

Duvariabla kvadrata funkcio estas polinoma funkcio de la grado 2 de du variabloj, do de formo:

f(x,y) = A x2 + B y2 + C x + D y + E x y + F

La funkcio priskribas kvadratan surfacon z=f(x,y). Ekvacio f(x,y)=0 priskribas la komunaĵon de la surfaco kun la ebeno z=0, kiu komunaĵo estas koniko.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Kvadrata funkcio
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.