Malderivaĵo

Se f estas funkcio kun reela aŭ kompleksa argumento, nomatas kiel malderivaĵo ĉiu funkcio g, kies derivaĵo egalas al f, t.e. g′ = f.

Laŭ la fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo, la nedifinita integralo de funkcio f ĉiam estas unu el la malderivaĵoj de f.

Funkcio	Derivaĵo	malderivaĵo
${\displaystyle f(x)=k\;}$	${\displaystyle f'(x)=0\;}$	${\displaystyle F(x)=kx+C\;}$
${\displaystyle f(x)=x^{q}\;}$	${\displaystyle f'(x)=qx^{q-1}\;}$	${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x^{q+1}}{q+1}}+C,&{\mbox{se q}}\neq -1\\\ln |x|+C,&{\mbox{se q}}=-1\end{matrix}}\right.}$
${\displaystyle f(x)=e^{x}\;}$	${\displaystyle f'(x)=e^{x}\;}$	${\displaystyle F(x)=e^{x}+C\;}$
${\displaystyle f(x)=a^{x}\;}$	${\displaystyle f'(x)=a^{x}\ln a\;}$	${\displaystyle F(x)={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C\;}$
${\displaystyle f(x)=\ln x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}\;}$	${\displaystyle F(x)=x\ln x-x+C\;}$
${\displaystyle f(x)=\log _{a}x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}{\frac {1}{\ln a}}\;}$	${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\ln a}}(x\ln x-x)+C\;}$
${\displaystyle f(x)=\sin x\;}$	${\displaystyle f'(x)=\cos x\;}$	${\displaystyle F(x)=-\cos x+C\;}$
${\displaystyle f(x)=\cos x\;}$	${\displaystyle f'(x)=-\sin x\;}$	${\displaystyle F(x)=\sin x+C\;}$
${\displaystyle f(x)=\tan x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\;}$	${\displaystyle F(x)=-\ln \left|\cos x\right|+C\;}$
${\displaystyle f(x)=\cot x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sin ^{2}x}}\;}$	${\displaystyle F(x)=\ln \left|\sin x\right|+C\;}$
${\displaystyle f(x)=\arcsin x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;}$	${\displaystyle F(x)=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}\;}$
${\displaystyle f(x)=\arccos x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;}$	${\displaystyle F(x)=x\arccos \;x-{\sqrt {1-x^{2}}}\;}$
${\displaystyle f(x)=\arctan x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\;}$	${\displaystyle F(x)=x\arctan x-{\frac {1}{2}}ln\left(1+x^{2}\right)\;}$
${\displaystyle f(x)=\sinh x\;}$	${\displaystyle f'(x)=\cosh x\;}$	${\displaystyle F(x)=\cosh x\;}$
${\displaystyle f(x)=\cosh x\;}$	${\displaystyle f'(x)=\sinh x\;}$	${\displaystyle F(x)=\sinh x\;}$
${\displaystyle f(x)=\tanh x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\;}$	${\displaystyle F(x)=\ln \left|\cosh x\right|\;}$
${\displaystyle f(x)=\coth x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {-1}{\sinh ^{2}x}}\;}$	${\displaystyle F(x)=\ln \left|\sinh x\right|\;}$
${\displaystyle f(x)={\text{arcsinh}}\;x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\;}$	${\displaystyle F(x)=x\;{\text{arcsinh}}\;x-{\sqrt {x^{2}+1}}\;}$
${\displaystyle f(x)={\text{arccosh}}\;x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\;,\;x>1}$	${\displaystyle F(x)=x\;{\text{arccosh}}\;x-{\sqrt {x^{2}-1}}\;}$
${\displaystyle f(x)={\text{arctanh}}\;x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\;,\;\left|x\right|<1}$	${\displaystyle F(x)=x\;{\text{arctanh}}\;x+{\frac {1}{2}}\ln {\left(1-x^{2}\right)}\;}$
${\displaystyle f(x)={\text{arccoth}}\;x\;}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\;,\;\left|x\right|>1}$	${\displaystyle F(x)=x\;{\text{arccoth}}\;x+{\frac {1}{2}}\ln {\left(x^{2}-1\right)}\;}$

Vidu ankaŭ

• Listo de integraloj de racionalaj funkcioj
• Listo de integraloj de malracionalaj funkcioj