Singulara valora malkomponaĵo
From Wikipedia, the free encyclopedia
En lineara algebro, la singulara valora malkomponaĵo aŭ singulara valora dekomponaĵo (SVD) estas matrica malkomponaĵo (matrica faktorigo) de reela aŭ kompleksa matrico.
Singulara valoro malkomponaĵo povas esti de ankaŭ ne-kvadrata matrico.
Estu M estas m×n matrico kies elementoj estas de kampo K, kiu estas la kampo de reelaj nombroj aŭ la kampo de kompleksaj nombroj. Tiam ekzistas faktorigo de formo
- M = UΣV*
kie U estas m×m unita matrico super K;
- Σ estas m×n diagonala matrico kun nenegativaj reelaj nombroj sur la ĉefdiagonalo;
- V estas n×n unita matrico super K;
- V* estas konjugita transpono de V.
Por reela M, ankaŭ U kaj V estas reelaj, kaj konjugita transpono estas la samo kiel transpono.
Komuna konvencio estas ordigi la diagonalajn elementojn Σi, i en malkreska ordo. En ĉi tiu okazo, la diagonala matrico Σ estas unike difinita per M, kvankam la matricoj U kaj V estas ne unikaj. La diagonalaj elementoj de Σ estas la singularaj valoroj de M.
Ekzegezo de la malkomponaĵo povas esti ĉi tia:
- La kolumnoj de V formas aron de ortonormalaj enigaj aŭ analizantaa bazvektoroj por M. Ili estas la ajgenvektoroj de M*M.
- La kolumnoj de U formas aron de ortonormalaj eligaj bazvektoroj por M. Ili estas la ajgenvektoroj de MM*.
- La diagonalaj valoroj en matrico Σ estas la skalaraj amplifaj koefivientoj, per kiu ĉiu respektiva enigo estas multiplikata por doni respektivan eligoj. Ili estas la kvadrataj radikoj de la ajgenoj de MM* kaj M*M kiu respektivas kun la samaj kolumnoj en U kaj V.