Trigonometria funkcio
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matematiko, la trigonometriaj funkcioj estas ses funkcioj de angulo.
Matematikaj funkcioj |
---|
fonta aro, cela aro • bildo, malbildo • bildaro, argumentaro |
Fundamentaj funkcioj |
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
Specialaj funkcioj |
erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
Nombroteoriaj funkcioj: |
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
Ecoj: |
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |
Ili estas ekvivalente difinebla laŭ diversaj manieroj.
- Geometriaj difinoj:
- Rilatumoj inter lateroj de orta triangulo enhavantaj la angulon, ĉi tio donas difinon por reelaj valoroj de la variablo inter 0 kaj π/2 (orto).
- Longoj de diversaj segmentoj de unuocirklo, ĉi tio donas difinon por ĉiuj reelaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).
- Algebraj difinoj:
- Malfiniaj serioj
- Solvaĵoj de certaj diferencialaj ekvacioj, ĉi tio donas vastigaĵon al kompleksaj valoroj de la variablo (krom iuj certaj valoroj por iuj el la funkcioj).
Por ke la geometriaj kaj la algebraj difinoj donu koincidantajn rezultojn, la angulo θ devas esti mezurita en radianoj.
La difino per orta triangulo senpere donas ĉiujn ses funkciojn. En iuj el la aliaj okazaj komence estas difinataj ne ĉiuj funkcioj (sin kaj cos tamen estas difinataj), la aliaj funkcioj estas tiam difinataj per formuloj de kolumno "Ĉefa idento" de la tabelo pli supre.
Nomo | Kutima skribmaniero | Ĉefa idento | Limigoj de valoro por reela argumento | Periodo |
---|---|---|---|---|
sinuso | y = sin θ | −1 ≤ y ≤ 1 | 2π | |
kosinuso | y = cos θ | −1 ≤ y ≤ 1 | 2π | |
tangento | y = tan θ aŭ y = tg θ | tan θ = sin θ / cos θ | ĉiuj reelaj y | π |
kotangento | y = cot θ aŭ y = cotan θ aŭ y = ctg θ | cot θ = cos θ / sin θ | ĉiuj reelaj y | π |
sekanto | y = sec θ | sec θ = 1 / cos θ | −∞ < y ≤ −1 aŭ 1 ≤ y < ∞ | 2π |
kosekanto | y = csc θ aŭ y = cosec θ | csc θ = 1 / sin θ | −∞ < y ≤ −1 aŭ 1 ≤ y < ∞ | 2π |
Grafikaĵoj de sin x kaj cos x |
Grafikaĵo de tan x |
Sinuso, Kosinuso, Tangento, Kosekanto (punktita), Sekanto (punktita), Kotangento (punktita) |
Trigonometriaj funkcioj estas difinataj per anguloj de orta triangulo per rilatumoj inter longoj de ĝiaj lateroj.
En orta triangulo, la funkcioj de angulo α egalas al rilatumoj inter longoj de la lateroj:
Estu la unuocirklo, la cirklo de radiuso unu centrita je la fonto. De la teoremo de Pitagoro la ekvacio de la unuocirklo estas:
Estu duonrekto el la fonto (0,0) kun angulo de θ kun la pozitiva duono de la x-akso. La linio sekcas la unuocirklon en punkto, kies x kaj y koordinatoj estas cos θ kaj sin θ respektive.
Por , orta triangulo povas esti konstruita per aldono de perpendikularo el la punkto (x, y) al la x-akso. La triangulo-hipotenuzo de longo egala al radiuso de la cirklo, do egalas al la 1. Longoj de la du aliaj lateroj estas x kaj y. Tiel kaj , kio koincidas kun la difino per orta triangulo,
Por anguloj pli grandaj ol 2π aŭ malpli grandaj ol -2π, oni simple daŭre turnu la punkton ĉirkaŭ la cirklo. Do, sinuso kaj kosinuso estas periodaj funkcioj kun periodo 2π:
por ĉiu angulo θ kaj ĉiu entjero k.
La plej malgranda pozitiva periodo, aŭ la primitivo periodo de la funkcio, por sinuso, kosinuso, sekanto kaj kosekanto estas plena cirklo, 2π radianoj aŭ 360 gradoj; la primitivo periodo de tangento kaj aŭ kotangento estas nur duono de cirklo, kio estas π radianoj aŭ 180 gradoj.
Valoro de tangento ŝanĝiĝas malrapide ĉirkaŭ anguloj de kπ, sed ŝanĝi rapide je anguloj proksimaj al .
La grafikaĵo de la tangento havas vertikalajn asimptotojn je . En ĉi tiuj okazo la funkcio proksimiĝas al plus malfinio kiam θ proksimiĝas al de maldekstro kaj la funkcio proksimiĝas al minus malfinio kiam θ proksimiĝas al de dekstro.
Uzante nur geometrion kaj proprecojn de limesoj, eblas montri ke derivaĵo de sinuso estas kosinuso kaj derivaĵo de kosinuso estas negativo de sinuso. (la variablo estas mezurita en radianoj). Do la serioj de Taylor estas:
Interrilato kun eksponenta funkcio kaj kompleksaj nombroj
El la serioj sekvas ke la sinuso kaj kosinuso estas respektive la imaginara parto kaj la reela parto de la eksponenta funkcio, kiam ĝia argumento estas pure imaginara:
Kaj
Ĉi tiu idento estas la eŭlera formulo en kompleksa analitiko. Ĝi priskribas la unuoblan cirklon en la kompleksa ebeno.
Plue, la serioj permesas difinon por kompleksaj argumentoj z:
kie i2 = -1.
Ambaŭ la sinuso kaj kosinuso kontentigas la diferencialan ekvacion
En la 2-dimensia funkcia spaco V konsistanta el ĉiuj solvaĵoj de ĉi tiu ekvacio, la sinusa funkcio estas la unika solvaĵo kun la komencaj kondiĉoj y(0) = 0 kaj y′(0) = 1, kaj la kosinuso estas la unika solvaĵo kun la komencaj kondiĉoj y(0) = 1 kaj y′(0) = 0. Pro tio ke sinuso kaj kosinuso estas lineare sendependaj, kune ili formas bazon de V. Tio ke sinuso kaj kosinuso kontentigas al signifas ke ili estas propraj funkcioj de la dua-derivaĵa operatoro.
La tangento estas la unika solvaĵo de la nelineara diferenciala ekvacio
kun la komenca kondiĉo y(0) = 0.
Signifo de radianoj
Radiano estas tia mezurunuo de angulo, kun kiu sinuso kaj kosinuso kontentigas la diferencialan ekvacion
Se argumento al sinuso aŭ kosinuso en radianoj estas skalita per koeficiento,
do la derivaĵo estas skalita per la amplitudo:
Ĉi tie, k estas konstanto kiu prezentas surĵeto inter unuoj. Se x estas en gradoj, tiam
Ĉi tiu signifas ke dua derivaĵo de sinuso en gradoj kontentigas diferencialan ekvacion
La kosinusa dua derivaĵo kondutas simile.
Nulvaloroj
Fazrilatoj inter la unuopaj funkcioj
Multoblaj anguloj
Duoblaj anguloj | |||
---|---|---|---|
Trioblaj anguloj | |||
n-oblaj anguloj: | |||
Duonaj anguloj | |||
Pri tangento kaj kotangento ekzistas rilato inter n+1-obla kaj n-obla argumento:
Derivaĵo kaj malderivaĵo
La derivaĵon kaj la malderivaĵon montras la sekva tabelo.
Derivaĵo | Nedifinita integralo | |
---|---|---|
(por reela x) | ||
(por reela x) | ||
(por reela x) | ||
(por reela x) |
Difinoj per funkciaj ekvacioj
Oni povas difini la trigonometriajn funkciojn surbaze de iuj el iliaj propraĵoj. Ekzistas akurate unu paro de reelaj funkcioj sin kaj cos tia ke por ĉiuj reelaj nombroj x kaj y jenaj ekvacioj veras:
kun la aldona kondiĉo ke