Integralo de Euler

Integralo de Euler aŭ Eŭlera integralo estas kolekto da integraloj kun parametro. Integralo de unua speco estas funkcio β kaj de dua speco estas funkcio Γ.

1. Funkcio β:

   ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,\quad \mathrm {kie} \quad \Re (x),\Re (y)>0}$

2. Funkcio Γ:

   ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$

Por pozitiva entjeroj m kaj n

${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (n,m)={(n-1)!(m-1)! \over (n+m-1)!}={n+m \over nm{n+m \choose n}}}$

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$

Kunligoj inter funkcioj

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi /2}sin^{2a+1}xcos^{2b+1}x\,dx={\frac {\Gamma (a+1)\Gamma (b+1)}{2\Gamma (a+b+2)}}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} (a+1,b+1)}$

Vidu ankaŭ

• Leonhard Euler
• Funkcio φ
• Funkcio de Euler
• Funkcio de Fresnel
• Funkcio de Gauss