Integrala transformo

Unu el plej fortaj iloj por solvado de derivaĵaj ekvacioj kiel la ordinara aŭ la parta diferenciala ekvacio estas integrala transformo. Furiera transformo, Laplaca transformo, transformo de Hankel kaj ceteraj ekvacioj aplikas por solvo de taskoj pri varmo-konduktiveco, elektromagnetismo, teorio de elasteco kaj aliaj branĉoj de matematika fiziko. Uzante tiujn integralajn transformojn, eble unuigas diferencialajn, integralajn aŭ diferencial-integralajn ekvaciojn al algebraj ekvacioj, kaj nur se ĝi estas parta diferenciala ekvacio de malalta ordo.

Ĝenerala formulo de la integrala transformo:

${\displaystyle Tf(u)=\int \limits _{S}K(t,u)\,f(t)\,dt,}$

kie

${\displaystyle f}$ nomiĝas originalo;

${\displaystyle Tf}$ nomiĝas bildigo;

kaj ili estas elementoj de spaco de Lebesgue ${\displaystyle ~L}$, ĉe funkcio ${\displaystyle ~K}$ nomiĝas kerno de integrala transformo.

Plimulto da integralaj transformoj estas returnebla, tio estas se esti bildigo, tiam eble riparas la originalo:

${\displaystyle f(t)=\int \limits _{S'}K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du.}$

Ĉiu integrala transformo estas lineara bildigo.

Tabelo

Se

${\displaystyle Tf(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,dt}$,

${\displaystyle f(t)=\int \limits _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,(Tf(u))\,du}$,

do:

Transformo	Notacio	${\displaystyle K}$	t1	t2	${\displaystyle K^{-1}}$	u1	u2
Furiera transformo	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Sinusa Furiera transformo	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Kosinusa Furiera transformo	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}{\sqrt {\pi }}}}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Transformo de Hartli	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Transformo de Mellin	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Ambaŭflanka laplaca transformo	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}\,}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Laplaca transformo	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Transformo de Weierstrass	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-(u-t)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Transformo de Hankel		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Intagrala transformo de Abel		${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$	${\displaystyle u\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$	${\displaystyle t\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Transformo de Hilbert	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$
Kerno de Poisson		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 2\pi \,}$
Identa transformo		${\displaystyle \delta (u-t)\,}$	${\displaystyle t_{1}<u\,}$	${\displaystyle t_{2}>u\,}$	${\displaystyle \delta (t-u)\,}$	${\displaystyle u_{1}\!<\!t}$	${\displaystyle u_{2}\!>\!t}$
N-Transformo	${\displaystyle {\mathcal {N}}}$	e−st	f(ut)	0	∞	${\displaystyle {\frac {e^{st/u}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$

Literaturo

• Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961

Eksteraj ligiloj

• Kategorio Integrala transformo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

• Listo de integralaj transformoj^{[rompita ligilo]}.