Kvaterniono

In matematiko, la kvaterniona nombrosistemo etendas la kompleksajn nombrojn. La kvaternionoj unue estis priskribita de la irlanda matematisto William Rowan Hamilton en 1843^[1][2] kiel rimedo por reprezenti la grupon de turnadoj de tri-dimensia spaco.

Multiplika Tabulo de Kvaternionoj

↓ × →	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

La multipliko de kvaternionoj estas nekomuta.

La kvaternionoj ĝenerale estas representataj per la esprimo

$${\displaystyle a+b\ \mathbf {i} +c\ \mathbf {j} +d\ \mathbf {k} ,}$$ kie a, b, c, kaj d estas reelaj nombroj; kaj 1, i, j, kaj k estas la normaj (kaj normalaj) kvaternionaj bazaj vektoroj.^[3]

La kvaternionoj povas esti uzata kun aliaj reprezentoj de tri-dimensiaj turnadoj, ekzemple anguloj de Eŭler kaj matricoj de turnado, aŭ sole, depende de la aplikaĵo.

Multiplika tabulo

Nekomuteco estas emfazita per koloritaj kvadratoj.

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Difino

Kvaterniono estas reprezentita per esprimo kun formo ${\displaystyle (a,b,c,d)}$ aŭ, egale,

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \ ,}$$

kie ${\displaystyle a,b,c,d}$ estas reela nombroj, kaj i, j, k, estas simboloj, kiuj reprezentas unuvektoroj, kie ĉiuj estas ortaj unu al la aliaj. Kutime, se unu el a, b, c, d estas nulo, la termino de la responda komponento estas ellasita; se ĉiuj estas nulo, la kvaterniono estas la nula kvaterniono, skribata kiel ${\displaystyle \mathbf {0} }$; se unu el b, c, d egalas 1, la responda termino estas skribata kiel nur i, j, aŭ k.

La aro de kvaternionoj estas 4-dimensia vektora spaco sur la reelaj nombroj, kun ${\displaystyle \left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}}$ kiel bazo kun po-komponenta adicio.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\,\mathbf {i} +c_{1}\,\mathbf {j} +d_{1}\,\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\,\mathbf {i} +c_{2}\,\mathbf {j} +d_{2}\,\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\,\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\,\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\,\mathbf {k} ,\end{aligned}}}$$

kaj po-komponenta multipliko

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\,\mathbf {i} +(\lambda c)\,\mathbf {j} +(\lambda d)\,\mathbf {k} .\end{aligned}}}$$

La multiplika grupstrukturo (indikata per apudmeto), estas difinita sur la kvaternionoj tiel:

• La reela kvaterniono 1 estas la neŭtrala elemento.
• La reelaj kvaternionoj komutas kun ĉiuj aliaj kvaternionoj. Tio estas, r q = q r por ĉiu kvaterniono q kaj ĉiu reela kvaterniono r.
• La produkto estas difinita por la bazaj elementoj, kaj tiam estas etendigita al ĉiuj kvaternionoj per la distribua proprieto. La produkto ne estas komuta, sed estas asocia, do la kvaternionoj formas asocian algebron sur la reeloj.
• Krome, ĉiu nenula kvaterniono havas inverson:

$${\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).}$$ Do la kvaternionoj formas dividan algebron.

Kvaternionoj kiel turnadoj

3D vidigo de sfero kaj turnado ĉirkaŭ Eŭlera akso (${\displaystyle {\hat {e}}}$) tra angulo de ${\displaystyle \theta }$

En tri-dimensia spaco, laŭ la Turnado Teoremo de Eŭlero, kiu ajn turnado aŭ sekvenco de turnadoj de rigida korpo ĉirkaŭ fiksata punkto egalas unu turnado tra angulo ${\displaystyle \theta }$ ĉirkaŭ fiksata akso (nomata la Eŭlera akso), kiu enhavas la fiksatan punkton. ^[4] La Eŭlera akso estas kutime reprezentata per unuvektoro ${\displaystyle {\vec {u}}}$ (${\displaystyle {\hat {e}}}$ en la jena bildo). Tial, ajna turnado en tri-dimensioj povas esti reprezentata kiel vectoro ${\displaystyle {\vec {u}}}$ kaj angulo ${\displaystyle \theta }$.

Kvaternionoj prezentas simplan metodon enkodi tiun reprezenton ^[5] kiel akso kaj angulo per kvar reelaj nombroj, kaj povas esti uzata por apliki (kalkuki) la respondan turnadon al situa vektoro (x,y,z), reprezentas punkto relative al la origino en tri-dimensia Kartezia spaco, skribata kiel R³.

Kartezia vectoro, ekzemple (2, 3, 4), povas esti reskribita kiel 2 i + 3 j + 4 k, kie i, j, k estas la bazaj unukvaternionoj, kiuj tie ĉi korespondas al la tri-dimensiajn Karteziajn aksojn (tradicie nomiĝatajn x, y, z), kun la multiplikaj reguloj de la kvaternionoj. Do la "kvaterniona interpretado" de la Kartezian vektoron (u_x, u_y, u_z) estas (0, u_x, u_y, u_z). Tio estas "pura kvaterniono", kiu signifas, ke ĝi havas neniom reelan parton.

Kiel reprezenti turnadon per kvaronjono? Se ni reprezentas la turnadan akson ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{x},u_{y},u_{z})}$ kiel la unukvaterniono u = (0, u_x, u_y, u_z), kaj la punkto ${\displaystyle {\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})}$ kiel p = (0, p_x, p_y, p_z), do la (kvarterniona interpretado de la) rezulto de la turnado de la punkto tra angulo ${\displaystyle \theta }$ ĉirkaŭ u estas

$${\displaystyle \mathbf {r} \ {=}\ \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} ^{-1}}$$

kie

$${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {\theta }{2}}{(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}=\cos {\frac {\theta }{2}}+\mathbf {u} \sin {\frac {\theta }{2}}.}$$

Oni povas montri, ke la skalara komponanto de la rezulto r necese estas nulo. Estas ankaŭ montrebla, ke du turnadaj kvaternionoj povas esti kombinataj en unu kvaternionon per la esprimo ${\displaystyle \mathbf {q} '=\mathbf {q} _{2}\cdot \mathbf {q} _{1}}$, kie q′ korespondas al la turnado q₁ sekvita de la turnado q₂. Tiel, multaj turnadoj povas esti kombinataj kune, kaj tiam aplikataj kiel unu turnado.

Vidu ankaŭ

• 3-dimensia turnada grupo
• Tridimensia komputila grafiko