Malbildo

En matematiko, la malbildo^[1] aŭ prabildo aŭ kontraŭbildo de elemento en cela aro de funkcio estas la aro de tiuj elementoj de la fonta aro de la funkcio, kies bildo estas la koncerna elemento. Pli ĝenerale, oni povas analoge difini la malbildon de subaro de la cela aro. Tiusence, la argumentaro de funkcio estas la malbildo de ĝia cela aro.

Matematikaj funkcioj
Aroj: fonta aro, argumentaro, bildaro, cela aro (suma klarigo) • malbildo
Fundamentaj funkcioj
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca
Specialaj funkcioj
Gaŭsa • Gaŭsa de eraro • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ
Ecoj:
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco

La malbildo de la elemento ${\displaystyle 0\in B}$ aŭ de la unuelementa subaro ${\displaystyle \{0\}\subseteq B}$ estas la 3-elementa aro ${\displaystyle \{2,3,5\}\subseteq A}$. La malbildo de la elemento ${\displaystyle 1\in B}$ aŭ de la unuelementa subaro ${\displaystyle \{1\}\subseteq B}$ estas la unuelementa aro ${\displaystyle \{1\}\subseteq A}$. La malbildo de la elemento ${\displaystyle 2\in B}$ aŭ de la unuelementa subaro ${\displaystyle \{2\}\subseteq B}$ estas malplena aro. La elementoj ${\displaystyle 4,6}$ de la fonta aro ${\displaystyle A}$ entute ne apartenas al la malbildo de la cela aro ${\displaystyle B}$, t.e al la argumentaro de tiu ĉi funkcio f.

Difino

Konsideru bildigon

${\displaystyle f\colon A\to B}$,

kies fonta aro estas ${\displaystyle A}$ kaj kies cela aro estas ${\displaystyle B}$. Se ${\displaystyle M\subseteq B}$ estas subaro de la cela aro ${\displaystyle B}$, la malbildo de ${\displaystyle M}$ per ${\displaystyle f}$ estas la subaro ${\displaystyle f^{-1}[M]}$ de la fonta aro difinita jene:

${\displaystyle f^{-1}[M]=\{\,x\in A\,|\,f(x)\in M\}}$.

Se ${\displaystyle b\in B}$ estas elemento de la cela aro, la malbildo de ${\displaystyle b}$ per ${\displaystyle f}$^{[2]:Difino 2.2.1} estas la malbildo de la unuopo ${\displaystyle \{b\}\subseteq B}$:

${\displaystyle f^{-1}(b):=f^{-1}[\{b\}]=\{x\in A\mid f(x)=b\}}$.

Ecoj

La malbildo de la cela aro de funkcio estas ties argumentaro; ankaŭ la malbildo de la bildaro de la funkcio estas ties argumentaro.

La malbildo de unuopo ne nepre estas unuopo — ĝi povas enhavi neniun aŭ plurajn elementojn.

La malbildo de la malplena aro estas la komplemento de la argumentaro de la funkcio en ties cela aro.

Ekzemplo

Por la funkcio

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\colon x\mapsto x^{-2}}$,

la malbildo de 4 estas {−½, ½}, kaj la malbildo de la malplena aro estas {0}.