Mezuro (matematiko)

En analitiko, mezuro^[1] estas funkcio, kiu asignas al ĉiu mezurebla aro (elemento de sigma-alĝebro) nenegativan reelon aŭ nefinion, laŭ ia koncepto de “grandeco” (longo, areo, volumeno ktp.) de tiuj aroj.

Mezuro asignas nenegativan reelon aŭ nefinion al ĉiu aro en sigma-alĝebro.

Difino

Supozu, ke ${\displaystyle \Sigma }$ estas sigma-alĝebro super la aro ${\displaystyle X}$. Do, mezuro super ${\displaystyle \Sigma }$ estas funkcio

${\displaystyle \mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]}$

kiu plenumas la ĉi-suban aksiomon (kalkuleblan sumecon):

• Por ajna kalkulebla kolekto ${\displaystyle (S_{i})_{i\in I}}$ de elementoj de ${\displaystyle \Sigma }$, se ili estas senkomunaĵaj (t.e. pri ajna ${\displaystyle i,j\in I}$, se ${\displaystyle i\neq j}$, do ${\displaystyle S_{i}\cap S_{j}=\varnothing }$), do la mezuro de la kunaĵoj estas la sumo de la mezuroj:
•  :${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)=\sum _{i\in I}\mu (S_{i})}$.

Specife, se ${\displaystyle I=\varnothing }$, do ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$.

Ekzemploj

Sur ajna sigma-alĝebro ${\displaystyle \Sigma }$ sur ajna aro, oni povas difini la kalkulan mezuron:

${\displaystyle \mu _{\text{kalk}}(S)={\begin{cases}|S|&|S|<\aleph _{0}\\\infty &|S|\geq \aleph _{0}\end{cases}}}$

Sur ajna sigma-alĝebro ${\displaystyle \Sigma }$ sur ajna aro, oni povas difini la trivialan mezuron:

${\displaystyle \mu _{\text{triv}}(S)=0}$.

Sur la reela linio (aŭ, pli ĝenerale, ajnadimensia eŭklida spaco), oni povas difini la sigma-alĝebron de Lebesgue-mezureblaj aroj kaj sur tiuj la mezuron de Lebesgue.