Operatoro de d'Alembert

Je analitiko kaj la speciala teorio de relativeco, la operatoro de d'Alembert estas diferenciala operatoro, kiu estas la analogaĵo de la laplaca operatoro sur spaco de Minkowski.

Difino

Sur ${\displaystyle d}$-dimensia spaco de Minkowski, kun la metriko

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,\underbrace {+1,\dotsc ,+1} _{d})}$,

la operatoro de d'Alembert estas la ĉi-suba lineara duaorda diferenciala operatoro:

${\displaystyle \square =\sum _{\mu ,\nu =0}^{d-1}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }=-\partial _{0}^{2}+\partial _{1}^{2}+\partial _{2}^{2}+\dotsb +\partial _{d-1}^{2}}$.

Se oni uzas la malan elekton por la metriko (t.e. ${\displaystyle +1,-1,\dotsc ,-1}$), do simile oni havas plian minuson antaŭ la difino de la operatoro de d'Alembert.

Apliko

Je relativeca teorio de kampoj, la kampekvacio de senmasa kampo ${\displaystyle \phi }$ estas tio, ke la kampo estas ejgena funkcio de ejgeno 0 de la operatoro de d'Alembert:

${\displaystyle \square \phi =0}$.

Pli ĝenerale, la kampekvacio de kampo ${\displaystyle \phi }$, kies invarianta maso estas ${\displaystyle m}$ estas tio, ke la kampo estas ejgena funkcio de ejgeno ${\displaystyle m^{2}}$ de la operatoro de d'Alembert:

${\displaystyle \square \phi =m^{2}\phi }$.

Historio

La operatoron difinis la franca matematikisto kaj fizikisto Jean le Rond d'Alembert.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, D'Alembertian en MathWorld.