Paralelogramo

En geometrio, paralelogramo estas kvarlatero kun du aroj de paralelaj lateroj. La kontraŭaj lateroj de paralelogramo estas de egala longo, kaj la kontraŭaj anguloj de paralelogramo estas kongruaj.

Paralelogramo (AB=DC, DA=CB).

La tri-dimensia analogo de paralelogramo estas paralelepipedo.

Proprecoj

La areo de paralelogramo egalas tiun de ortangulo kun sama bazo kaj sama alto.

• La du paralelaj lateroj estas de egala longo.
• La areo, A, de paralelogramo estas A=bh, kie b estas la bazo kaj h estas ĝia alto.
• La areo de paralelogramo estas dufoje la areo de triangulo kreita per unu el ĝiaj diagonaloj.
• La areo estas ankaŭ egala al la grandeco de la vektora produto de du najbaraj lateroj.
• La du diagonaloj de paralelogramo estas egalaj kaj dusekcas unu la alian.
• Eblas krei kahelaron de ebeno per sinsekvaj kopioj de ĉiu paralelogramo.
• La paralelogramo estas speciala kazo de la trapezo.
• La ortangulo estas speciala kazo de la paralelogramo.
• La rombo estas speciala kazo de la paralelogramo.

Vektoraj spacoj

En vektora spaco, adicio de vektoroj estas kutime difinita uzanta la paralelograman leĝon. La paralelograma leĝo diferencigas hilbertajn spacojn de aliaj banaĥaj spacoj.

Komputado de areo de paralelogramo

Estu ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{2}}$ kaj estu ${\displaystyle V=[a\ b]\in \mathbb {R} ^{2\times 2}}$ signifi la matrico kun kolumnoj ${\displaystyle a}$ kaj ${\displaystyle b}$. Tiam la areo de la paralelogramo generita per ${\displaystyle a}$ kaj ${\displaystyle b}$ estas egala al ${\displaystyle |\det(V)|}$

Estu ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{n}}$ kaj estu ${\displaystyle V=[a\ b]\in \mathbb {R} ^{n\times 2}}$. Tiam la areo de la paralelogramo generita per ${\displaystyle a}$ kaj ${\displaystyle b}$ estas egala al ${\displaystyle {\sqrt {\det(V^{T}V)}}}$

Pruvo ke la diagonaloj dusekcas unu la alian

Paralelogramo ABCD

Por pruvi ke la diagonaloj de paralelogramo dusekcas (duondividas) unu la alian, unue notu kelkajn parojn de ekvivalentaj anguloj:

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$

pro tio ke ili estas anguloj, kiuj estas transversaj kun paralelaj ${\displaystyle AB}$ kaj ${\displaystyle DC}$.

Ankaŭ, ${\displaystyle \angle AEB\cong \angle CED}$ pro tio ke ili estas paro de vertikalaj anguloj.

Pro tio, ${\displaystyle \triangle ABE\sim \triangle CDE}$ ĉar ili havas la samajn angulojn.

De ĉi tiu simileco, oni havas rilatumojn:

${\displaystyle {AB \over CD}={AE \over CE}={BE \over DE}}$

Pro tio ke) ${\displaystyle AB=DC}$, estas

${\displaystyle {AB \over CD}=1}$.

Pro tio,

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE}$

${\displaystyle E}$ dusekcas la diagonalojn ${\displaystyle AC}$ kaj ${\displaystyle BD}$.

Vidu ankaŭ

• Fundamenta paralelogramo
• Paralelograma leĝo
• Paralelogramo de forto
• Rombo
• Gnomono (figuro)

Eksteraj ligiloj

• Kategorio Paralelogramo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)
• Paralelogramo en ReVo

• Paralelogramo kaj rombo
• Eric W. Weisstein, Paralelogramo en MathWorld.
• Interaga paralelogramo - lateroj, anguloj kaj inklino
• Areo de paralelogramo^{[rompita ligilo]} je tranĉi-la-nodon
• Egallateraj trianguloj sur lateroj de paralelogramo^{[rompita ligilo]} je tranĉi-la-nodon
• Paralelogramoj de Varignon kaj Wittenbauer de Antonio Gutierrez en "Geometrio paŝo per paŝo"
• Kamioneto Aubel's teoremo Kvarlatero kun kvar-kvadrat-ludoj de Antonio Gutierrez en "Geometrio paŝo per paŝo"
• Paralelogramo
• Difino kaj propraĵoj de paralelogramo kun animis apleto
• Interaga apleta montranta kalkulon de paralelograma areo