Pra-Lie-alĝebro

En algebro, pra-Lie-alĝebro estas ĝeneraligo de la koncepto de asocieca alĝebro, plenumanta malfortigitan aksiomon de asocieco, kies komutilo tamen plenumas la aksiomon de alĝebro de Lie.^[1]

Laŭ la usona fizikisto John Baez,

	„ “Pra-Lie-alĝebro” sugestas alĝebron de Lie kun kelkaj kruroj fortiritaj. Sed efektive ĝi estas asocieca alĝebro kun kelkaj kruroj fortiritaj! Ĉiu asocieca algebro donas alĝebron de Lie — sed oni ne bezonas la plenan forton de la asocieca leĝo por ludi ĉi tiun ludon. Sufiĉas pra-Lie-alĝebro.” ” — John Baez[2]

Difino

Supozu ke ${\displaystyle K}$ estas komuta ringo. Do, dekstra pra-Lie-alĝebro super ${\displaystyle K}$ estas ${\displaystyle K}$-modulo ${\displaystyle V}$ ekipita per dulineara operacio

${\displaystyle \triangleleft \colon V\otimes _{K}V\to V}$

plenumanta la jenan aksiomon:

${\displaystyle \operatorname {asoc} _{\triangleleft }(x,y,z)=\operatorname {asoc} _{\triangleleft }(x,z,y)}$.

En la ĉi-supra aksiomo, ${\displaystyle \operatorname {asoc} }$ estas la asociilo

${\displaystyle \operatorname {asoc} _{\triangleleft }(x,y,z)\,{\overset {\text{dif}}{=}}\,(x\triangleleft y)\triangleleft z-x\triangleleft (y\triangleleft z)}$.

La maldekstra pra-Lie-alĝebro estas simile ${\displaystyle K}$-modulo ekipita per dulineara operacio

${\displaystyle \triangleright \colon V\otimes _{K}V\to V}$

plenumanta la malan aksiomon:

${\displaystyle \operatorname {asoc} _{\triangleright }(x,y,z)=\operatorname {asoc} _{\triangleright }(y,x,z)}$.

Ecoj

Dekstra (aŭ maldekstra) pra-Lie-alĝebro povas esti rigardata kiel alĝebro de Lie, se oni difinas la Lie-krampon kiel la komutilon:

${\displaystyle [x,y]\,{\overset {\text{dif}}{=}}\,a\triangleleft b-b\triangleleft a}$.

Ekzemploj

Asocieca alĝebro (eble sen unuo) estas kaj dekstra pra-Lie-alĝebro kaj maldekstra pra-Lie-alĝebro, ĉar la asociilo simple nulas.

Historio

La koncepton pre-Lie-alĝebro enkondukis la usona matematikisto Murray Gerstenhaber (1927–).