Rimana sternaĵo

En diferenciala geometrio, rimana sternaĵo estas glata sternaĵo, ekipita per dulineara metriko je ĉiu punkto (la rimana metriko).

Difino

Se ${\displaystyle M}$ estas glata sternaĵo, do rimana metriko sur ${\displaystyle M}$ estas glata sekcio

${\displaystyle g\in \Gamma (\mathrm {T} ^{*}M\otimes _{M}\mathrm {T} ^{*}M)}$

de la vektora fasko

${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes _{M}\mathrm {T} ^{*}M}$,

la tensora kvadrato de la kotanĝa fasko, kiu plenumas la jenajn aksiomojn.

• (Simetrio) Pri ĉiu ajn paro de vektoraj kampoj ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$, ${\displaystyle g(X,Y)=g(Y,X)}$.
• (Pozitiva difiniteco) Pri ĉiu ajn vektora kampo ${\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$, ${\displaystyle g(X,X)\geq 0}$. Plue, se ${\displaystyle g(X,X)=0}$, do ${\displaystyle X=0}$.

Se oni malfortigas la duan aksiomon al la jena, do oni difinas la koncepton de duonrimana metriko.

• (Difiniteco) Pri ĉiu ajn vektora kampo ${\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)}$, se ${\displaystyle g(X,X)=0}$, do ${\displaystyle X=0}$.

Rimana sternaĵo ${\displaystyle (M,g)}$ estas orda paro de glata sternaĵo ${\displaystyle M}$ kaj rimana metriko ${\displaystyle g}$ sur ĝi. Duonrimana sternaĵo ${\displaystyle (M,g)}$ estas orda paro de glata sternaĵo ${\displaystyle M}$ kaj duonrimana metriko ${\displaystyle g}$.

Propraĵoj

Ĉiu koneksa rimana sternaĵo ${\displaystyle (M,g)}$ estas metrika spaco, kies metriko estas la jena. Se ${\displaystyle x,y\in M}$, kaj ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to M}$ estas glata kurbo inter la du,

${\displaystyle \gamma (0)=x}$

${\displaystyle \gamma (1)=y}$

do la longo de ${\displaystyle \gamma }$ estas la jena integralo.

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}{\sqrt {g|_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,\mathrm {d} t}$

La distanco inter du punktoj estas la infimo de la longoj de la glataj kurboj inter la du punktoj. La distanco-funkcio plenumas la aksiomojn de metrika funkcio.

Historio

La rimana sternaĵo nomiĝas laŭ la germana matematikisto Bernhard Riemann (Esperante Rimano), kiu studis tiun specon de sternaĵo kiel ĝeneraligon de la strukturo de Eŭklida spaco.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Riemannian manifold en MathWorld.