Matriz de dos filas (matriz adjunta)
Dada una matriz de tamaño con determinante no nulo entonces
y esta está definida siempre y cuando con . Así por ejemplo la inversa de la matriz
ya que
Matriz de tres filas
Dada una matriz de tamaño con determinante no nulo:
donde se definen
Sea una matriz de rango máximo
- La matriz inversa de es única.
- Si y entonces la matriz inversa del producto es
- Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir
- Una matriz con coeficientes en los reales es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:
donde es el determinante de y es la matriz de adjuntos de , entendida como a la matriz de cofactores traspuesta. (Ver la explicación de la diferente manera de entender el término adjunto[1][2][3][4][5] en el artículo matriz de adjuntos).
- El conjunto de matrices de con componentes sobre el cuerpo que admiten inversa, con el producto de matrices, tiene una estructura isomorfa al grupo lineal de orden . En este grupo la operación de inversa es un automorfismo .
Demostración de la unicidad de la inversa
Supongamos que y son inversas de
Multiplicando ambas relaciones por
De modo que y se prueba que la inversa es única.
Demostración del criterio de invertibilidad de las matrices cuadradas
Se probará la doble implicación.
Necesidad
Supongamos que el determinante de es distinto de cero. Sea el elemento ij de la matriz y sea la matriz sin la fila y la columna (comúnmente conocida como -ésimo menor de A). Entonces tenemos que
Además, si , entonces podemos deducir que
pues la parte izquierda de la relación es el determinante de con la columna sustituida por la columna y, de nuevo por propiedades del determinante, sabemos que una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.
De las dos ecuaciones anteriores podemos obtener
donde es la delta de Kronecker.
Por tanto, sabiendo que tenemos que
es decir, que tiene inversa por la izquierda
Como , entonces también tiene inversa por la izquierda que es
Entonces
luego, aplicando la transpuesta
que es lo que se quería demostrar.
Solución analítica
Inversión de matrices 2×2
Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:[6]
Esto es posible siempre y cuando , es decir, el determinante de la matriz no es cero.
Ejemplo numérico:
Métodos numéricos
El método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible y para encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada como producto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir.
Utilizando el método de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por medio del uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será la matriz inversa a la dada.
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