Proceso estocástico
objeto matemático definido generalmente como una colección de variables aleatorias / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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En la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para representar magnitudes aleatorias que varían con el tiempo o para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo.[1] Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y pueden o no estar correlacionadas entre sí.
Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico. Un proceso estocástico puede entenderse como una familia uniparamétrica de variables aleatorias indexadas mediante el tiempo t. Los procesos estocásticos permiten tratar procesos dinámicos en los que hay cierta aleatoriedad. Las aplicaciones y el estudio de los fenómenos han inspirado a su vez la propuesta de nuevos procesos estocásticos.
Ejemplos de tales procesos estocásticos incluyen el proceso de Wiener o proceso de movimiento browniano,[4] utilizado por Louis Bachelier para estudiar los cambios de precios en la Bolsa de París,[5] y el proceso de Poisson, utilizado por A. K. Erlang para estudiar el número de llamadas telefónicas que se producen en un determinado periodo de tiempo.[6] Estos dos procesos estocásticos se consideran los más importantes y centrales en la teoría de los procesos estocásticos,[7][8][9] y fueron descubiertos repetida e independientemente, tanto antes como después de Bachelier y Erlang, en diferentes entornos y países.[5][10]
El término función aleatoria también se utiliza para referirse a un proceso estocástico o aleatorio,[11][12] porque un proceso estocástico también puede interpretarse como un elemento aleatorio en un espacio funcional.[13][14] Los términos proceso estocástico y proceso aleatorio se utilizan indistintamente, a menudo sin un espacio matemático específico para el conjunto que indexa las variables aleatorias.[13][15] Pero a menudo estos dos términos se utilizan cuando las variables aleatorias están indexadas por los enteros o un intervalo de la recta real.[16][15] Si las variables aleatorias están indexadas por el plano cartesiano o algún espacio euclidiano de dimensiones superiores, entonces la colección de variables aleatorias suele llamarse campo aleatorio.[16][17] Los valores de un proceso estocástico no son siempre números y pueden ser vectores u otros objetos matemáticos.[16][14]
Basándose en sus propiedades matemáticas, los procesos estocásticos pueden agruparse en varias categorías, que incluye camino aleatorio,[18] martingalas,[19] Cadena de Márkov,[20] Proceso de Lévyes,[21] Proceso gaussiano,[22] campos aleatorios,[23] proceso de renovación, y proceso de ramificación.[24] El estudio de los procesos estocásticos utiliza conocimientos matemáticos y técnicas de probabilidad, cálculo, álgebra lineal, teoría de conjuntos y topología[25][26][27] así como ramas del análisis matemático como el análisis real, la teoría de medidas, el análisis de Fourier y el análisis funcional.[28][29][30] La teoría de los procesos estocásticos se considera una importante contribución a las matemáticas[31] y sigue siendo un tema activo de investigación tanto por razones teóricas como por sus aplicaciones.[32][33][34]