Representación de grupo
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En el estudio de los grupos en álgebra, una representación de grupo es una "descripción" de un grupo como grupo concreto de transformaciones (o grupo de automorfismos) de un cierto objeto matemático. Más formalmente, la "descripción" significa que hay un homomorfismo del grupo a un cierto grupo de automorfismos. Una representación fiel es una en la cual este homomorfismo es inyectivo.
En el campo matemático de la teoría de representaciones, las representaciones de grupo describen grupos abstractos en términos de transformaciones lineales biyectivas de espacios vectoriales sobre sí mismos (es decir, automorfismos de espacios vectoriales). transformaciones lineales de un espacio vectorial a sí mismo (es decir, automorfismos de espacios vectoriales); en particular, pueden utilizarse para representar elementos de grupo como matrices invertibles de modo que la operación de grupo pueda representarse por multiplicación de matrices.
En química, una representación de grupo puede relacionar elementos matemáticos de grupo con rotaciones simétricas y reflexiones de moléculas.
Las representaciones de grupos son importantes porque permiten reducir muchos problemas de teoría de grupos a problemas de álgebra lineal, que se entiende bien. También son importantes en física porque, por ejemplo, describen cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta a las soluciones de las ecuaciones que describen dicho sistema.
El término representación de un grupo también se utiliza en un sentido más general para referirse a cualquier "descripción" de un grupo como grupo de transformaciones de algún objeto matemático. Más formalmente, una "representación" significa un homomorfismo del grupo al grupo de automorfismo de un objeto. Si el objeto es un espacio vectorial tenemos una representación lineal. Algunas personas usan realización para la noción general y reservan el término representación para el caso especial de las representaciones lineales. La mayor parte de este artículo describe la teoría de las representaciones lineales; véase la última sección para las generalizaciones.