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Teorema del límite central
Teorema de la estocástica / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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El teorema central del límite o teorema del límite central indica que, en condiciones muy generales, si es la suma de
variables aleatorias independientes, con media y varianza finitas, entonces la función de distribución de
«se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.[1][2]
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El nombre viene de un documento científico escrito por George Pólya en 1920, titulado Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem[3] [Sobre el «teorema del límite» (Grenzwertsatz) central del cálculo probabilístico y el problema de los momentos], por lo que la denominación más fiel a la original sería teorema central del límite.
Este teorema ha sufrido muchos cambios durante el desarrollo formal de la teoría de la probabilidad. Las versiones anteriores del teorema se remontan a 1811, pero en su forma general moderna, este resultado fundamental en la teoría de la probabilidad se enunció con precisión en una fecha tan tardía como 1920,[4] sirviendo así de puente entre la teoría de la probabilidad clásica y la moderna.
Si son muestras aleatorias extraídas de una población con media global.
y varianza finita.
, y si
es la media muestral de las primeras
muestras, entonces la forma límite de la distribución,
, con
, es una distribución normal estándar.[5].
Por ejemplo, supongamos que se obtiene una muestra que contiene muchas observaciones, cada observación se genera aleatoriamente de forma que no depende de los valores de las demás observaciones, y que se calcula la media aritmética de los valores observados. Si este procedimiento se realiza muchas veces, el teorema del límite central dice que la distribución de probabilidad de la media se aproximará mucho a una distribución normal.
El teorema del límite central tiene diversas variantes. En su forma común, las variables aleatorias deben ser independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.). En sus variantes, la convergencia de la media a la distribución normal también se produce para distribuciones no idénticas o para observaciones no independientes, si cumplen ciertas condiciones.
La versión más antigua de este teorema, según la cual la distribución normal puede utilizarse como aproximación a la distribución binomial, es el teorema de De Moivre-Laplace.