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Teorema fundamental de homomorfismos
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En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo...
En la teoría de grupos, el teorema se puede formular así:
- Si
es un homomorfismo de grupos y
es un subgrupo normal de
contenido en el núcleo de
, entonces existe un único homomorfismo
tal que
, en donde
es la proyección canónica. Así, tenemos el diagrama conmutativo siguiente
- Si
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El homomorfismo está dado por
para todo de
, y se dice que
es inducido por
. Nótese que si
, entonces
, por lo que
, así que
y el homomorfismo
está bien definido.
El núcleo de este homomorfismo es , y es un epimorfismo si y solo si
lo es.
Si es un homomorfismo, entonces
es un epimorfismo, y puesto que
es inyectivo cuando su núcleo
es trivial, lo que sucede si y solo si
,
tenemos un isomorfismo
. Este caso particular del teorema fundamental de homomorfismos se conoce como primer teorema de isomorfía.
El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.