Anillo topológico

Definición de anillo topológico

Un anillo topológico es un anillo ${\displaystyle R}$ dotado de una topología ${\displaystyle \tau }$ de tal manera que las aplicaciones:

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}+:&R\times R&\longrightarrow &R\\\,&(a,b)&\mapsto &a+b\\\end{array}}}$

y

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}\cdot$ :&R\times R&\longrightarrow &R\\\,&(a,b)&\mapsto &a\cdot b\\\end{array}}}

son continuas (usando en los productos cartesianos las respectivas topologías producto) respecto a la topología ${\displaystyle \tau }$.

Definición alternativa

1. R es un anillo algebraico
2. R es un espacio topológico
3. Las operaciones algebraicas definidas en R son continuas en el espacio topológico R^[1]

Propiedades

Una aplicación h de un anillo topológico R en un anillo topológico R' se llama homomorfa si es una aplicación homomorfa del anillo algebraico R en anillo algebraico R' y una aplicación continua del anillo topológico R en un anillo topológico R'.

el conjunto de todos los elemento del anillo R que son aplicados por el homomorfismo h en el cero del anillo R' se llama núcleo de este homomorfismo.

Este núcleo del anillo topológico R es un ideal del anillo algebraico R y un cerrado del espacio topológico R.^[2]

Definición de cuerpo topológico

Un cuerpo topológico es un anillo topológico en el anillo que R es un cuerpo, y además la aplicación ${\displaystyle {\begin{array}{ccc}R\setminus \{0\}&\longrightarrow &R\setminus \{0\}\\x&\mapsto &x^{-1}\end{array}}}$

es continua para la topología ${\displaystyle \tau }$.