Clausura algebraica

En álgebra, la clausura algebraica (o cierre algebraico, del inglés algebraic closure) de un cuerpo ${\displaystyle K}$ es la extensión algebraica más pequeña de ${\displaystyle K}$ que es algebraicamente cerrada. Es una de las muchas complexiones que existen en matemáticas.

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Usando el Lema de Zorn, puede probarse que todo cuerpo tiene una clausura algebraica, y que la clausura algebraica de un cuerpo ${\displaystyle K}$ es única salvo un isomorfismo que fija cada miembro de ${\displaystyle K}$. Por esta unicidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de ${\displaystyle K}$, más que de una clausura algebraica de ${\displaystyle K}$.

La clausura algebraica de un cuerpo ${\displaystyle K}$ puede pensarse como la mayor extensión algebraica de ${\displaystyle K}$. Para ver esto, nótese que si ${\displaystyle L}$ es cualquier extensión algebraica de ${\displaystyle K}$, entonces la clausura algebraica de ${\displaystyle L}$ es claramente también clausura algebraica de ${\displaystyle K}$, y así ${\displaystyle L}$ está contenida en la clausura algebraica de ${\displaystyle K}$. La clausura algebraica de ${\displaystyle K}$ es también el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a ${\displaystyle K}$, ya que si ${\displaystyle M}$ es cualquier cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a ${\displaystyle K}$, entonces los elementos de ${\displaystyle M}$ que son algebraicos sobre ${\displaystyle K}$ forman la clausura algebraica de ${\displaystyle K}$.

La clausura algebraica de un cuerpo ${\displaystyle K}$ tiene la misma cardinalidad que ${\displaystyle K}$ si ${\displaystyle K}$ es infinito, y es infinito numerable si ${\displaystyle K}$ es finito.

En el caso del cuerpo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de los números reales, su clausura algebraica es el cuerpo de los números complejos, ${\displaystyle \mathbb {C} }$. En el caso del cuerpo de los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, su clausura algebraica es un subcuerpo de los números complejos, llamado el cuerpo de los números algebraicos y denotado habitualmente por ${\displaystyle \mathbb {A} }$.

Ejemplos

• El Teorema fundamental del álgebra dice que la clausura algebraica del cuerpo de los números reales es el cuerpo de los números complejos.
• La clausura algebraica de los números racionales es el cuerpo de los números algebraicos.
• Existen muchos cuerpos algebraicamente cerrados numerables en los números complejos, y contienen estrictamente al cuerpo de los números algebraicos; son las clausura algebraicas de las extensiones trascendentales de los números racionales.
• Para un cuerpo finito de orden primo ${\displaystyle p}$, la clausura algebraica es un cuerpo infinito numerable que contiene una copia del cuerpo de orden ${\displaystyle p^{n}}$ para cada entero ${\displaystyle n}$ positivo (y de hecho es la unión de dichas copias).

Significado

La importancia de la clausura algebraica reside en encontrar los ceros de polinomios. En la clausura algebraica, cada polinomio tiene exactamente ${\displaystyle n}$ ceros. Sin embargo, no se dice nada sobre cómo se pueden encontrar específicamente.

Véase también

• Cuerpo algebraicamente cerrado
• Extensión algebraica

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Algebraic Closure». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Datos: Q428290