Conexión (matemática)

En geometría diferencial, la conexión es un objeto matemático definido en una variedad diferenciable que permite establecer una relación o "conectar" la geometría local en torno a un punto con la geometría local en torno a otro punto. El caso más sencillo de conexión es una conexión afín que permite especificar una derivada covariante en una variedad diferenciable.

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El transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva cerrada sobre la esfera, que al igual que el concepto de derivada covariante se basa en la noción de conexión matemática. El ángulo ${\displaystyle \alpha }$ después de recorrer una vez la curva es proporcional al área dentro de la curva.

Introducción

La teoría de conexiones conduce a los invariantes de curvatura (véase también tensor de curvatura), y de torsión. Esto se aplica a los fibrados tangentes; hay conexiones más generales, en geometría diferencial: una conexión puede referirse a una conexión en cualquier fibrado vectorial o a una conexión en un fibrado principal.

En un acercamiento particular, una conexión es una 1-forma a valores en un álgebra de Lie que es un múltiplo de la diferencia entre la derivada covariante y la derivada parcial ordinaria. Es decir, la derivada parcial no es una noción intrínseca en una variedad diferenciable: una conexión corrige el concepto y permite la discusión en términos geométricos. Las conexiones dan lugar a un transporte paralelo.

Tipos de conexión

Hay un gran número de enfoques posibles relacionados con el concepto de conexión, entre los cuales están los siguientes:

• Un muy directo estilo módulo a la diferenciación covariante, indicando las condiciones que permiten a los campos vectoriales a actuar sobre secciones de fibrados vectoriales.
• La notación tradicional de índices específica la conexión por los componentes, vea derivada covariante (tres índices, pero esto no es un tensor).
• En geometría de Riemann hay una manera de derivar una conexión del tensor métrico (conexión de Levi-Civita).
• Usando fibrados principales y formas diferenciales a valores en un álgebra de Lie (véase conexión de Cartan).
• el acercamiento más abstracto puede ser el sugerido por Alexander Grothendieck, donde se considera una conexión como descenso de vecindades infinitesimales de la diagonal.

Las conexiones referidas arriba son conexiones lineales o afines. Hay también un concepto de conexión proyectiva; la forma más comúnmente de esto es derivado de Schwarz en análisis complejo. Vea también: conexión de Gauss-Manin

Referencias

• Levi-Civita, T.; Ricci, G. (1900), «Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications», Mathematische Annalen 54 (1–2): 125-201, S2CID 120009332, doi:10.1007/BF01454201.
• Cartan, Élie (1924), «Sur les variétés à connexion projective», Bulletin de la Société Mathématique de France 52: 205-241, doi:10.24033/bsmf.1053.
• Cartan, Élie (1926), «Les groupes d'holonomie des espaces généralisés», Acta Mathematica 48 (1–2): 1-42, doi:10.1007/BF02629755.
• Cartan, Élie (1983), Geometry of Riemannian spaces, Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7.
• Ehresmann, C. (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, pp. 29-55.
• Koszul, J. L. (1950), «Homologie et cohomologie des algèbres de Lie», Bulletin de la Société Mathématique de France 78: 65-127, doi:10.24033/bsmf.1410.
• Lumiste, Ü. (2001), «Conexión (matemática)», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Osserman, B. (2004), Connections, curvature, and p-curvature, archivado desde el original el 21 de diciembre de 2006, consultado el 4 de febrero de 2007.
• Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2000), Connections in Classical and Quantum Field Theory, World Scientific, ISBN 981-02-2013-8..
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6, (requiere registro).

Véase también

• Conexión de Cartan
• Conexión de Galois
• Conexión de Levi-Civita

Enlaces externos

• "Teoría general de la conexión afín" por Wenceslao Segura

• Datos: Q31924
• Multimedia: Connection (mathematics) / Q31924