Primera conjetura de Hardy-Littlewood

En teoría de números, la primera conjetura de Hardy–Littlewood^[1] muestra una fórmula asintótica para estimar el número de k-tuplas de primos menores que una magnitud dada mediante la generalización del teorema de los números primos. Fue propuesta por primera vez por G. H. Hardy y John Edensor Littlewood en 1923.^[2]

Primera conjetura de Hardy–Littlewood
Gráfica que muestra la cantidad de números primos gemelos menores que un n dado. La primera conjetura de Hardy–Littlewood predice que hay una infinidad de ellos.
Campo	Teoría de números
Conjeturado por	G. H. Hardy John Edensor Littlewood
Conjeturado en	1923
Problema abierto	Sí
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Enunciado

Sean ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ números enteros positivos pares tales que los números de la sucesión ${\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})}$ no forman una clase de residuos completa con respecto a cualquier primo y sea ${\displaystyle \pi _{P}(n)}$ el número de primos ${\displaystyle p}$ menores que ${\displaystyle n}$ siendo todos ${\displaystyle p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}}$ números primos. Entonces^[1][3]

${\displaystyle \pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},}$

donde

${\displaystyle C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ primo,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}}$

es un producto sobre los números primos impares y ${\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}$ denota el número de residuos distintos de ${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$ módulo ${\displaystyle q}$.

El caso ${\displaystyle k=1}$ y ${\displaystyle m_{1}=2}$ es relacionado con la conjetura de los primos gemelos. Específicamente si ${\displaystyle \pi _{2}(n)}$ denota el número de primos gemelos menores que n, entonces

${\displaystyle \pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},}$

donde

${\displaystyle C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ primo,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots }$

es la constante de los primos gemelos.^[3]

Número de Skewes

Artículo principal: K-tupla de números primos#Números de Skewes

Los números de Skewes para k-tuplas de primos son una extensión de la definición de número de Skewes para k-tuplas de primos basadas en la primera conjetura de Hardy–Littlewood. El primer primo p que viola la desigualdad de Hardy–Littlewood para la k-tupla P, i.e., tal que

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(si tal primo existe) es el número de Skewes para P.^[3]

Consecuencias

La conjetura se ha mostrado inconsistente con la segunda conjetura de Hardy–Littlewood.^[4]

Generalizaciones

La Conjetura de Bateman-Horn generaliza la primera conjetura de Hardy–Littlewood a polinomios de grado mayor que 1.^[1]