Criterio de Cramér-von Mises

En estadística el criterio de Cramér-von Mises se emplea para juzgar la bondad de una función de distribución acumulada ${\displaystyle F^{*}}$ comparada con una función de distribución empírica ${\displaystyle F_{n}}$, o para comparar dos distribuciones empíricas. También se utiliza como parte de otros algoritmos, tal como la estimación de la distancia mínima. Se define como:

${\displaystyle \omega ^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }[F_{n}(x)-F^{*}(x)]^{2}\,\mathrm {d} F^{*}(x)}$

Aplicándolo a una única muestra, ${\displaystyle F^{*}}$ es la distribución teórica y ${\displaystyle F_{n}}$ es la empírica. Alternativamente las dos distribuciones pueden ser estimadas empíricamente; esto se conoce como un caso de dos muestras.

El criterio lleva los apellidos de Harald Cramér y Richard Edler von Mises, quienes fueron los primeros en exponerlo entre los años 1928-1930. La generalización de las dos muestras es obra de Theodore Wilbur Anderson.^[1]

El criterio es una alternativa al test de Kolmogorov-Smirnov.

Test de Cramér-von Mises (una muestra)

Sean ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$ los valores observados, en orden creciente. Entonces el estadístico es^{[1]: 1153 [2]}

${\displaystyle T=n\omega ^{2}={\frac {1}{12n}}+\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {2i-1}{2n}}-F(x_{i})\right]^{2}.}$

Si este valor es mayor que el valor tabulado, se puede rechazar la hipótesis de que los datos provienen de la distribución ${\displaystyle F}$

Test de Watson

Una versión modificada del criterio es el test de Watson,^[3] el cual usa el estadístico U², donde^[2]

${\displaystyle U^{2}=T-n({\bar {F}}-{\tfrac {1}{2}})^{2},}$

donde

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {1}{n}}\sum F(x_{i}).}$

Test de Cramér–von Mises test (dos muestras)

Sean ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}}$ y ${\displaystyle y_{1},y_{2},\cdots ,y_{M}}$ los valores observados en la primera y segunda muestra respectivamente, en orden creciente. Sean ${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{N}}$ los rangos de x en la muestra combinada, y sean ${\displaystyle s_{1},s_{2},\cdots ,s_{M}}$ los rangos de y en la muestra combinada. Anderson^[1]: 1149 muestra que

${\displaystyle T=N\omega ^{2}={\frac {U}{NM(N+M)}}-{\frac {4MN-1}{6(M+N)}}}$

donde U se define como

${\displaystyle U=N\sum _{i=1}^{N}(r_{i}-i)^{2}+M\sum _{j=1}^{M}(s_{j}-j)^{2}}$

Si el valor de T es mayor que los valores tabulados,^{[1]: 1154–1159} se puede rechazar la hipótesis de que las dos muestras provienen de la misma distribución. Esto implica que no hay duplicados en ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, y en las secuencias ${\displaystyle r}$. Por tanto ${\displaystyle x_{i}}$ es única, y su rango es ${\displaystyle i}$ en ${\displaystyle x_{1},...x_{N}}$. Si hay duplicados, y ${\displaystyle x_{i}}$ en ${\displaystyle x_{j}}$ son valores idénticos, donde se puede utilizar el enfoque del medio rango^[4] método: asignar a cada duplicado un rango de ${\displaystyle (i+j)/2}$. En las ecuaciones precedentes, en las expresiones ${\displaystyle (r_{i}-i)^{2}}$ y ${\displaystyle (s_{j}-j)^{2}}$, los duplicados pueden alterar las cuatro variables ${\displaystyle r_{i}}$, ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle s_{j}}$, y ${\displaystyle j}$.