Derivada de una función en forma paramétrica

Una derivada de una función en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (tradicionalmente independiente y dependiente, respectivamente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como «tiempo».

Primera derivada

Sean ${\displaystyle x(t)\,}$ e ${\displaystyle y(t)\,}$ las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas descritas arriba es dada por:

${\displaystyle {\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {y'(t)}{x'(t)}},}$

donde la notación ${\displaystyle x'(t)\,}$ indica la derivada de x con respecto de t. Para entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}\,}$

o en otras palabras

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.}$

Formalmente, mediante la regla de la cadena;

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$

y dividiendo ambos miembros por ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$ se obtiene la ecuación de arriba.

Segunda derivada

La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {y'}{x'}}\right){\frac {1}{x'}}}$
	${\displaystyle ={\frac {x'y''-y'x''}{x'^{3}}}}$

mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. El último resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.

Ejemplo

Por ejemplo, considérese el conjunto de funciones donde:

${\displaystyle x(t)=4t^{2}\,}$

y

${\displaystyle y(t)=3t.\,}$

Derivando ambas funciones con respecto a t se obtiene que

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=8t}$

y

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=3,}$

respectivamente. Substituyendo estas en la fórmula para la derivada paramétrica, se obtiene

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {y'}{x'}}={\frac {3}{8t}},}$

donde ${\displaystyle x'}$ y ${\displaystyle y'}$ se entienden como funciones de t.

Véase también

• Ecuación paramétrica

Referencias

• Britton et al. Matemáticas universitarias, tomo I. CECSA, 1971, impreso en México

Enlaces externos

• Derivative for parametric form en PlanetMath.
• Simmons, Bruce (2011). «Parametric derivative formulas». Mathwords (en inglés). Consultado el 1 de febrero de 2016.

• Datos: Q7135225