Distribución de Fréchet

La distribución de Fréchet es un caso especial de la distribución de valores extremos generalizada. Su función de distribución es

${\displaystyle Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ si }}x>0.}$

Fréchet
Parámetros	${\displaystyle \alpha \in (0,\infty ]}$
Dominio	${\displaystyle x>0}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle \alpha \;x^{-1-\alpha }\;e^{-x^{-\alpha }}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle e^{-x^{-\alpha }}}$
Media	${\displaystyle \Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right){\text{ if }}\alpha >1}$
Mediana	${\displaystyle \left({\frac {1}{\log _{e}(2)}}\right)^{1/\alpha }}$
Moda	${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{1+\alpha }}\right)^{1/\alpha }}$
Varianza	${\displaystyle \Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}{\text{ if }}\alpha >2}$
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donde α > 0 es el parámetro de forma. Puede generalizarse para incluir un parámetro de localización m y escala s > 0 quedando entonces de la forma

${\displaystyle Pr(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ if }}x>m.}$

Recibe su nombre de Maurice Fréchet, que escribió un artículo relacionado con ella en 1927. También trabajaron con ella Fisher y Tippett en 1928 y Gumbel en 1958.

Aplicación

Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Fréchet a lluvias diárias máximas.^[1]

• En hidrología, se utiliza la distribución de Fréchet para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,^[2] y además para describir épocas de sequía.^[3]

La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Fréchet a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial.

Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Véase también

• Distribución de Gumbel de tipo 2