Distribución de Rademacher

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución Rademacher (que lleva el nombre de Hans Rademacher) es una distribución discreta de probabilidad en la que una variable aleatoria X tiene una probabilidad del 50 % de ser +1 y 50 % de ser -1.^[1]

Una serie de Rademacher distribuye las variables pueden considerarse como un simple camino aleatorio simétrico, donde el tamaño del paso es 1.

Formulación matemática

La función de masa de probabilidad de esta distribución es

${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{si }}k=-1,\\1/2&{\mbox{si }}k=+1,\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{matrix}}\right.}$

Puede también ser escrita como una función de densidad de probabilidad en términos de la función delta de Dirac, como:

${\displaystyle f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).}$

Límite van Zuijlen

Van Zuijlen ha demostrado el siguiente resultado.^[2]

Sea ${\displaystyle X_{i}}$ un conjunto de variables aleatorias independientes con distribución Rademacher, entonces

${\displaystyle \Pr {\Bigl (}{\Bigl |}{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}{\Bigr |}\leq 1)\geq 0.5.}$

La cota es afilado y mejor que la que se puede derivar de la distribución normal (aproximadamente Pr > 0.31).

Límites sobre sumas

Sea { X_i } un conjunto de variables aleatorias con una distribución Rademacher. Sea ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ una sucesión de números reales. Entonces

${\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>t||a||_{2})\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

donde ${\displaystyle \lVert a\rVert _{2}}$ es la norma euclidiana de la secuencia ${\displaystyle \{a_{i}\},t>0}$ es un número real y Pr (Z) es la probabilidad del evento Z.^[3]

También si ${\displaystyle \lVert a\rVert _{1}}$ es finito entonces

${\displaystyle \Pr(\sum _{i}X_{i}a_{i}>||a||_{1})=0}$

donde ${\displaystyle \lVert a\rVert _{1}}$ es el 1-norma de la secuencia ${\displaystyle \{a_{i}\}}$.

Sea ${\displaystyle Y=\sum X_{i}a_{i}}$,${\displaystyle Y}$ casi seguramente es una serie convergente en un espacio de Banach. Entonces para ${\displaystyle t>0}$ y ${\displaystyle s\geq 1}$ tenemos:^[4]

${\displaystyle Pr(||Y||>st)\leq [{\frac {1}{c}}Pr(||Y||>t)]^{cs^{2}}}$

para alguna constante ${\displaystyle c}$.

Sea ${\displaystyle p}$ un número real positivo. Entonces^[5]

${\displaystyle c_{1}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}\leq (E[|\sum {a_{i}X_{i}}|^{p}])^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}[\sum {|a_{i}|^{2}}]^{\frac {1}{2}}}$

donde ${\displaystyle c_{1}}$ y ${\displaystyle c_{2}}$ son constantes que dependen solo de ${\displaystyle p}$.

Para ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}}$

Aplicaciones

La distribución Rademacher se ha utilizado en bootstrapping.

La distribución Rademacher se puede utilizar para demostrar que se distribuye normalmente y no correlacionado no implica independiente.

Distribuciones relacionadas

Distribución de Bernoulli: Si ${\displaystyle X}$ sigue una distribución Rademacher, luego ${\displaystyle {\frac {X+1}{2}}}$ tiene una distribución Bernoulli (1/2).

Distribución de Laplace: Si${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ son variables aleatorias independientes, tales que ${\displaystyle X}$ sigue una distribución Rademacher y ${\displaystyle Y=\exp {\bigl (}\lambda {\bigr )}}$, entonces ${\displaystyle XY\backsim Laplace(0,1/\lambda )}$