Ecuación de Abel

La ecuación de Abel, llamada así por Niels Henrik Abel, es un tipo de ecuación funcional que se puede escribir en la forma

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

o equivalente,

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}$

y controla la iteración de f.

Equivalencia

Estas ecuaciones son equivalentes. Suponiendo que α es una función invertible, la segunda ecuación se puede escribir como

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.}$

Tomando x = α⁻¹(y), la ecuación se puede escribir como

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

Para una función f(x) supone que se conoce, la tarea es resolver la ecuación funcional de la función α⁻¹≡h, que posiblemente cumpla con requisitos adicionales, como α⁻¹(0) = 1.

El cambio de las variables s^α(x) = Ψ(x), para un parámetro real s, lleva la ecuación de Abel a la celebrada ecuación de Schröder, Ψ(f(x)) = s Ψ(x).

El cambio adicional F(x) = exp(s^α(x)) en la ecuación de Böttcher, F(f(x)) = F(x)^s.

La ecuación de Abel es un caso especial de (y se generaliza fácilmente a) la ecuación de traducción,^[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

por ejemplo, para ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$,

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$.     (Observe ω(x,0) = x.)

La función de Abel α(x) proporciona además la coordenada canónica para los flujos advectivos de Lie (un parámetro, los grupos de Lie).

Historia

Inicialmente, se informó la ecuación en la forma más general.^[2][3] Incluso en el caso de una sola variable, la ecuación no es trivial y admite un análisis especial.^[4][5][6]

En el caso de una función de transferencia lineal, la solución se puede expresar de forma compacta.^[7]

Casos especiales

La ecuación de tetración es un caso especial de la ecuación de Abel, con f = exp.

En el caso de un argumento entero, la ecuación codifica un procedimiento recurrente, por ejemplo,

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}$

y así,

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}$

Soluciones

• solución formal: único (a una constante)^[8]
• soluciones analíticas (coordenadas de Fatou) = aproximación por expansión asintótica de una función definida por series de potencias en los sectores alrededor del punto fijo parabólico^[9]

Las coordenadas de Fatou describen la dinámica local de un sistema dinámico discreto cerca de un punto fijo parabólico.

Véase también

• Ecuación funcional
  • Ecuación de Schröder
  • Ecuación de Böttcher
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Función iterada
• Operador de turno
• Superfunción