Ecuación de Euler-Tricomi

En matemáticas, la ecuación de Euler-Tricomi es una ecuación en derivadas parciales lineal útil para el estudio del flujo transónico. Recibe el nombre de Leonhard Euler y de Francesco Giacomo Tricomi:^[1]

${\displaystyle u_{xx}+xu_{yy}=0.\,}$

Es elíptica en el semiplano x > 0, parabólica en x = 0 e hiperbólica en el semiplano x < 0. Sus características son

${\displaystyle x\,dx^{2}+dy^{2}=0,\,}$

cuya integral es:

${\displaystyle y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C,}$

donde C es una constante de integración. Por lo tanto, las características comprenden dos familias de parábolas semicúbicas, con cúspides en la línea x = 0, las curvas se encuentran en el lado derecho del eje y.

Soluciones particulares

Las soluciones particulares a las ecuaciones de Euler-Tricomi son del tipo:

• ${\displaystyle u=Axy+Bx+Cy+D,\,}$
• ${\displaystyle u=A(3y^{2}+x^{3})+B(y^{3}+x^{3}y)+C(6xy^{2}+x^{4})+D(2xy^{3}+x^{4}y),\,}$

donde A, B, C,D son constantes arbitrarias.

Una expresión general para estas soluciones es la siguiente:

• ${\displaystyle u=\sum _{i=0}^{k}{\frac {x^{m_{i}}\cdot y^{n_{i}}}{c_{i}}}\,}$

donde

• ${\displaystyle p,q\in [0,1]}$
• ${\displaystyle m_{i}=3i+p}$
• ${\displaystyle n_{i}=2(k-i)+q}$
• ${\displaystyle c_{i}=m_{i}!!!\cdot (m_{i}-1)!!!\cdot n_{i}!!\cdot (n_{i}-1)!!}$

La ecuación de Euler-Tricomi es una forma limitada de la ecuación de Chaplygin.

Véase también

• Ecuación de Burgers
• Ecuación de Chaplygin