Espacio contráctil

La noción de espacio contráctil o contractible es muy importante en topología algebraica, ya que representa la clase más sencilla de espacios desde el punto de vista de la homotopía.^[1][2]

Algunos espacios contráctiles y no contráctiles. A, B y C son contráctiles; D, E y F no lo son.

En topología, un espacio topológico ${\displaystyle X}$ es contráctil si tiene el tipo de homotopía de un punto, es decir, si existe una equivalencia homotópica entre el espacio ${\displaystyle X}$ y un espacio ${\displaystyle \{q\}}$ formado por un solo punto.^[3]Esto significa, por definición, que existan dos funciones continuas de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle \{q\}}$ y viceversa que compuestas sean homótopas a la identidad de cada espacio.

En un espacio topológico contráctil ${\displaystyle X}$ o contractible la aplicación identidad ${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$ es homótopa a alguna aplicación constante ${\displaystyle c:X\to X}$ tal que ${\displaystyle c(x)=p}$ con ${\displaystyle p\in X}$ para cualquier ${\displaystyle x\in X}$. Intuitivamente, un espacio contráctil puede ser deformado continuamente hasta convertirlo en un punto.^{[4] [5] [6]} De hecho, esta propiedad es equivalente a la definición y se puede tomar como definición alternativa, como se demuestra a continuación.

Definiciones

La definición que se ha dado antes es que ${\displaystyle X}$ es contráctil si es homotópicamente equivalente a un conjunto ${\displaystyle \{q\}}$ formado por un solo punto. Esto significa que existan dos funciones continuas ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \{q\}}$ y ${\displaystyle g\colon \{q\}\rightarrow X}$ tales que ${\displaystyle f\circ g\sim \operatorname {id} _{\{q\}}}$ y ${\displaystyle g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}}$ donde ${\displaystyle \sim }$ denota la relación de homotopía.

En este caso, se tiene que la identidad de ${\displaystyle X}$ es homótopa a una constante. En efecto, ${\displaystyle g}$ es una aplicación constante igual a ${\displaystyle g(q)}$ y, por lo anterior, ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\sim g\circ f}$, y esta última aplicación es la aplicación ${\displaystyle X\rightarrow X}$ constante igual a ${\displaystyle g(q)}$. ${\displaystyle \quad \square }$

El recíproco también es cierto: si la identidad de ${\displaystyle X}$ es homótopa a una constante (pongamos igual a ${\displaystyle p\in X}$), entonces ${\displaystyle X}$ es homotópicamente equivalente a un punto. Para ver esto último tenemos que construir dos funciones continuas ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \{q\}}$ y ${\displaystyle g\colon \{q\}\rightarrow X}$ tales que ${\displaystyle f\circ g\sim \operatorname {id} _{\{q\}}}$ y ${\displaystyle g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}}$. La función ${\displaystyle f}$ sólo puede ser la constante igual a ${\displaystyle q}$, y para definir ${\displaystyle g}$ sólo tenemos que definir ${\displaystyle g(q)}$. Tomamos ${\displaystyle g(q)=p\in X}$. Entonces ${\displaystyle f\circ g}$ es la identidad en ${\displaystyle \{q\}}$; en particular, ${\displaystyle f\circ g\sim \operatorname {id} _{\{q\}}}$. Por otro lado, ${\displaystyle g\circ f}$ es la constante igual a ${\displaystyle p}$, que es, por hipótesis, homótopa a la identidad de ${\displaystyle X}$. Con esto tenemos todo lo que queríamos. ${\displaystyle \quad \square }$

En conclusión, tenemos dos formas equivalentes de definir espacio contráctil:

1. Un espacio contráctil es aquel homotópicamente equivalente a un punto.
2. Un espacio contráctil es aquel en que la aplicación identidad es homótopa a una constante.

Propiedades

Un espacio contráctil ${\displaystyle X}$ verifica las siguientes propiedades:

• Es conexo por caminos.

  Demostración

  Dados dos puntos ${\displaystyle p,q\in X}$, construimos un camino continuo entre ellos. Por ser ${\displaystyle X}$ contráctil, la identidad es homótopa a una constante, digamos que igual a ${\displaystyle c\in X}$. Esto quiere decir que existe una aplicación continua (homotopía) ${\displaystyle F\colon X\times [0,1]\rightarrow X}$ tal que ${\displaystyle F(x,0)=x,\ F(x,1)=c}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$. Construimos un camino de ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle c}$. Simétricamente, podremos construir un camino de ${\displaystyle q}$ a ${\displaystyle c}$ e, invirtiéndolo, uno de ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle q}$. Concatenando el primero y este último obtenemos un camino (continuo por el lema del pegado) de ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle q}$, como queremos. El camino de ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle c}$ es el siguiente: ${\displaystyle \sigma \colon [0,1]\rightarrow X}$ definido como ${\displaystyle \sigma (t)=F(p,t)}$, que es continuo por serlo ${\displaystyle F}$. En efecto, tenemos que ${\displaystyle \sigma (0)=F(p,0)=p}$ y ${\displaystyle \sigma (1)=F(p,1)=c}$. ${\displaystyle \quad \square }$

• Su grupo fundamental de homotopía es trivial. Esto es inmediato a partir de que el grupo fundamental se conserve por equivalencia homotópica y que un espacio contráctil sea equivalente homotópicamente a un punto.
• Como consecuencia de las dos propiedades anteriores, es simplemente conexo.

Ejemplos

• El espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ es contráctil. De hecho, cualquier conjunto estrellado ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ lo es. Para verlo, basta tomar ${\displaystyle p\in X}$ un centro de la estrella y considerar la homotopía ${\displaystyle F\colon X\times [0,1]\rightarrow X}$, ${\displaystyle F(x,t)=tp+(1-t)x}$ entre la identidad en ${\displaystyle X}$ y la constante igual a ${\displaystyle p}$ (está bien definida porque cada segmento entre ${\displaystyle x\in X}$ y ${\displaystyle p}$ está totalmente contenido en ${\displaystyle X}$ por ser estrellado de centro ${\displaystyle p}$). Esto significa, por la definición 2. anterior, que ${\displaystyle X}$ es contráctil.
• La esfera n-dimensional ${\displaystyle S^{n}}$ no es contráctil.
• La esfera unitaria en un espacio de Hilbert de infinitas dimensiones es contráctil como consecuencia del teorema de Kuiper.