Espacio de Kolmogórov

Un espacio topológico se dice que es ${\displaystyle T_{0}}$ o espacio de Kolmogórov (o que cumple la propiedad de separación de Kolmogórov) si dados dos puntos distintos cualesquiera ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ del espacio, o bien existe un entorno ${\displaystyle U_{x}}$ de ${\displaystyle x}$ de forma que ${\displaystyle y\notin U_{x}}$ o bien existe un entorno ${\displaystyle U_{y}}$ de ${\displaystyle y}$ de forma que ${\displaystyle x\notin U_{y}}$. Recibe su nombre de Andréi Kolmogórov.

Axiomas de separación en espacios topológicos
T0
T1
T2
T2½
completamente T2
T3
T3½
T4
T5
T6

Caracterizaciones.

Existen varias caracterizaciones de la propiedad de separación de Kolmogórov:

• Dados dos puntos distintos cualesquiera ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ del espacio, la clausura de ${\displaystyle \{x\}}$ es distinta de la clausura de ${\displaystyle \{y\}}$.

• Dado cualquier punto ${\displaystyle x}$ del espacio, la acumulación de ${\displaystyle \{x\}}$ (conjunto de todos los puntos de acumulación) es unión de conjuntos cerrados.

Ejemplos y propiedades.

• La propiedad de separación de Kolmogórov es hereditaria, lo cual quiere decir que todo subespacio topológico de un espacio de Kolmogórov es un espacio de Kolmogórov.^[1]

• Todo espacio métrico es un espacio de Kolmogórov, no así los pseudométricos. De hecho, un espacio pseudométrico es métrico si y sólo si es un espacio de Kolmogórov.

• Todo espacio topológico de Hausdorff es un espacio de Kolmogórov.

• Todo espacio topológico de Fréchet es un espacio de Kolmogórov.

• Todo espacio topológico discreto es un espacio de Kolmogórov.

• El espacio topológico trivial con más de un punto no es un espacio de Kolmogórov.

• El espacio topológico de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ con la topología producto de la topologías usual y trivial de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ no es un espacio de Kolmogórov.

• En un espacio de Kolmogórov, los puntos distintos son topológicamente distinguibles.^[2]

Véase también

• Axiomas de separación
• Espacio T1
• Espacio de Hausdorff
• Espacio completamente de Hausdorff
• Espacio regular
• Espacio de Tíjonov
• Espacio normal