Forma indeterminada

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

• ${\displaystyle 0\div 0}$
• ${\displaystyle {\infty }\div {\infty }}$
• ${\displaystyle 0\times \infty }$
• ${\displaystyle \infty -\infty }$
• ${\displaystyle 0^{0}}$
• ${\displaystyle 1^{\infty }}$
• ${\displaystyle \infty ^{0}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{0}]{1}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{0}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{\infty }}}$
• ${\displaystyle \log _{0}(0)}$
• ${\displaystyle \log _{\infty }(\infty )}$
• ${\displaystyle \log _{1}(1)}$
• ${\displaystyle \log _{\infty }(0)}$
• ${\displaystyle \log _{0}(\infty )}$

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, menos generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}$

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado

La forma 0/0

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x³, x/x, y x²/x se van a ${\displaystyle {\infty }}$, 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que, informalmente, 0/0 puede ser 0, ${\displaystyle {\infty }}$ o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}}$

La forma ${\displaystyle {\infty }}$/${\displaystyle {\infty }}$

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ${\displaystyle {\infty }}$. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ${\displaystyle {\infty }}$/${\displaystyle {\infty }}$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {\infty }{\infty }}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {\infty }{\infty }}}$

Producto indeterminado

La forma indeterminada 0 • ${\displaystyle {\infty }}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }$

Diferencia indeterminada

En los casos en que el límite de una diferencia es ${\displaystyle {\infty }}$, no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ${\displaystyle {\infty }}$–${\displaystyle {\infty }}$. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada

• La forma 0⁰

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.}$

• La forma ${\displaystyle {\infty }}$⁰
• La forma 1^{${\displaystyle {\infty }}$}

Ejemplo: el siguiente límite^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}$, es de la forma ${\displaystyle 0^{0}}$; considerando

${\displaystyle y=x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}$

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

${\displaystyle \ln y={\frac {3}{4+\ln x}}\ln x}$ aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene

${\displaystyle \ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3}$ de manera que el límite sería

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}}$

Tabla de formas indeterminadas

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condiciones	Transformación a 0/0	Transformación a ∞/∞
${\displaystyle \qquad {\frac {0}{0}}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad {\frac {\infty }{\infty }}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle \qquad 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$

Véase también

• Bien definido
• División por cero
• Recta real extendida
• Regla de l'Hôpital
• Infinito